CHAPITRE PREMIER

a?ec AU ou BU, la direction de la partie BV de la droite, que Ton obtiendra la première en faisant tourner autour de B dans le sens des angles croissants un rayon couché d'abord sur Taxe BU. Le point B peut être sur l'axe AU ou sur son prolongement. Supposons-le d'abord sur AU, et faisons AB = a pour un point quelconque M de BV, on aura

a sina

sin (a — (p) '

pour un point quelconque Mi du prolongement inférieur de BV, on aura

a sin Cf.

sin M' *

mais le sin M'est égal au sinus de la somme des deux autres angles du triangle Mi AB, laquelle est égale à a 4- 2 7r — ç, dont le sinus est le même que celui de a — ç. On trouve donc la même équation pour tous les points de la droite indéfinie.

Il reste à examiner le cas où le point B est enB' sur le prolongement AV de AU. On aura alors pour un point Mi quelconque de B'V

AB'sîna

sin (<p — a)

et il en serait de même pour les points situés sur le prolougement de B' V.

Cette équation, qui a lieu pour tous les points de la droite, diffère, par le signe du second membre, de celle qui a été obtenue quand elle coupait l'axe du côté AU. On renfermerait donc les deux équations dans une seule, en entendant que a désigne la distance du pôle au point B quand ce point est sur la direction de l'axe à partir de laquelle on compte les angles, et qu'il désigne cette distance affectée du signe — quand le point B est du côté opposé du pôle. Les choses

l38 ÉTUDE DES COURBES.

étant ainsi entendues, Tëquation polaire générale de la ligne droite sera ... a sin a

sin(a — (f)

99. Remarque. — Quand nous avons considéré le rayon vecteur du point Mj , nous avons dû prendre pour (f Tangle décrit par une droite tournant depuis AU jusqu'à AMj dans le sens des angles croissants. De cette manière le rayon vecteur part de la valeur a quand (f part de zéro, et augmente sans limite à mesure que (f s^approche de a ; ce que nous avons déjà dît qu'on exprime on disant qu'il est infini pour (f = a. Mais en augmentant (f au delà de a, le rayon direct ne rencontrera la droite proposée que quand (f aura dépassé la valeur a -f- tt, pour laquelle il serait redevenu parallèle à cette droite : et, en continuant à augmenter jusqu'à 27ron construira le prolongement inférieur de la droite. Il n'y a là aucune difficulté^ c'est ainsi que les choses ont été entendues quand on a cherché l'équation polaire qui est satisfaite pour tous les points de la droite.

Néanmoins on pent être curieux de savoir ce que donnerait cette même équation pour les valeurs de (f comprises entre a et a + TT, et dont on pourrait ne s'occuper en aucune façon.

Nous renverrons cette discussion après la théorie des coordonnées négatives.

100. Équation polaire de la spirale d^Archimède, Un point est depuis un temps indéfini en mouvement uniforme sur une droite qui tourne uniformément autour d'un de ses points dans un plan donné*, il s'agit de trouver l'équation de la courbe qu'il décrit. Cette courbe porte le nom du grand géomètre qui l'a étudiée le premier.

Prenons pour pôle le point fixe A, et pour axe l'une des positions AU de la droite mobile : désignons par b la quaa-