CHAPITRE III. l

Considérons un point quelconque M du plan -, abaissons MP perpendiculaire sur AX, et MP' parallèle à A Y' 5 AP, MP et AP', MP' seront les grandeurs absolues de x, y et de x\ y.

Cela posé, considérons le polygone fermé AP'MPA, parcourons-le à partir de l'origine dans le sens marqué par ces lettres, et multiplions la valeur absolue de chaque côté par le cosinus de Tangle formé avec une direction fixe par la direction de ce côté dans le sens ou il est parcouru ; nous savons que la somme de ces produits, pour le contour entier du polygone, est égale à zéro. Choisissons d'abord pour cette direction fixe celle de AX.

La généralité de Téquation que nous allons trouver, et les conditions sous lesquelles elle a lieu, seront facilement établies au moyen de la remarque suivante.

Lorsqu'un des côtés AP', P'M du. polygone, AP' par exemple, sera décrit dans le sens même de l'axe correspondant AX', l'angle des deux directions sera celui de cet axe

avec AX, que nous exprimerons par X'X \ mais s'il était en sens opposé, comme l'est par exemple, dans notre figure, le côté P'M par rapport à son axe AY', l'angle serait le supplément de celui de AY' avec AX, et le terme de la somme devra être , d'après le théorème général , — MP'cosY'X. D'où il résulte généralement que chacun de ces termes dans la somme, sera le produit de la coordonnée par le cosinus de l'angle des directions des axes positifs correspondants, si l'on regarde les coordonnées comme négatives quand elles sont dans le sens opposé aux directions choisies AX', A Y'.

Quant aux deux autres côtés MP, PA, le premier donne un produit nul; le second est parcouru dans le sens de P vers l'origine A, ce qui est le sens opposé à AX si P est du côté AX, et le sens même de AX, si P est du côté opposé; de sorte que le côté PA fournira dans l'un et l'autre cas un

l56 ÉTUDE DES COURBES.

terme exprimé par — .r , et l'on aura l'équation générale

X =1 x' cos.r'x -h /' cosy' Xj

et Ton trouverait de même, en prenant A Y pour la direction fixe,

y =ix' CCS x' y -h y' ces y' y.

Il ne reste plus qu'à exprimer ces quatre cosinus au moyen de a et a '^ et on se rappellera que dans l'estimation des angles avec la direction fixe, on peut aussi bien prendre le supplément à quatre droits que l'angle même. On aura ainsi

ces x' X := ces a , ces y' Xz=z cos a', cosa:'^ = ces ( aj ou cos (a j^

et par suite