CHAPITRE ill

formules (2); puis on passerait de ces axes intermédiaires aux axes définitifs au moyen des formules (3), et Ton aurait ainsi

x=z a -\- x' ces a H- j^' ces a', y = b -{- x' sin CL -\- y sin a'.

Si les axes primitifs faisaient entre eux un angle quelconque 6, on trouverait par des considérations analogues

x' sin (0 — a ) -h r' sin (0 — a' )

, j: sm a -{- r sin a sin

Et si Ton voulait revenir du second système au premier, il suffirait de substituer à x\ y' les valeurs en a: et j^ que donneraient les équations (4).

Les formules (4) reproduiraient les formules (2) si l'on y faisait a = o, a' = 6.

Elles reproduiraient les dernières du n° 109 en faisant a = TT conjointement avec a' = 6 ou a' = -H tt 5 et a = o conjointement avec a' = -f- tt.

112. Si les deux systèmes d'axes étaient rectangulaires, les formules (3) ne dépendraient que d'un seul angle a; mais il y a deux cas qu'il faut bien distinguer. Les nouveaux axes des x^ et y peuvent être l'un par rapport à l'autre dans le même sens que ceux des x etj^, ou en sens inverse ; c'est-à-dire que si l'on fait tourner autour de l'origine le système x' j' jusqu'à ce que l'axe positif des x' coïncide avec celui des x^ l'axe positif desj^' pourra coïncidef avec celui às&j^ ou bien avec son prolongement.

Dans le premier cas on aura

et dans le second

l58 ÉTUDE DES COURBES.

On aura donc dans le premier.

CCS a' = — sin a , sin a' = ces a ,

et dans le second

cos a' i=r sin a , sin a' = — ces a.

Les formules (2) deviendront donc dans le premier cas

et dans le second

\ X :=x' COS a — /' sin a, l y = x' sinoi H- 7' cos a,

( a: =r .r' ces d H- j' sin a, ( jr ^= x' sin a — y cos a.

H3. Remarque. — La forme linéaire des équations (4) par rapport à x^y^ j:',j^' donne Heu à une conséquence remarquable. Si les deux membres de l'équation d'un lieu sont des fonctions rationnelles et entières des deux coordonnées, le degré de cette équation ne changera pas par cette transformation. En effet, en remplaçant x eiy par des expressions du premier degré en x' ^j\ on ne peut avoir évidemment une somme d'exposants plus forte qu'on ne l'avait en X etj^5 mais le degré du résultat total ne pourrait*il pas devenir moindre par la destruction des termes les plus élevés? On pourrait reconnaître directement que cela n'est pas possible, mais une bien simple observation le démontre; car si l'équation en x\ j' était de degré moindre que celle en x^j^ il faudrait que ce degré s'élevât en revenant à cette dernière par la substitution à x'^y' de leurs valeurs linéaires en x, /, tirées de (4) ; ce qui est impossible.

On voit donc que si l'équation d'un lieu est d'un certain degré par rapport à un certain système d'axes, elle conservera toujours ce même degré, quel que soit le système d'axes auquel on la rapporte.

Et c'est pour cela qu'il est possible de prendre le degré des équations comme moyen de classification des lieux géométriques.