CHAPITRE III
H4.. Transformation de coordonnées rectilignes en coordonnées polaires, et réciproquement.
Si le pôle n'est pas à Torigine et a pour coordonnées les quantités positives ou négatives a, i, on commencera par y transporter l'origine, et les axes parallèlement à eux-mêmes, au moyen des formules (2) 5 et il ne restera plus qu'à trouver deux relations entre les nouvelles coordonnées rectilignes d'un point quelconque et ses coordonnées polaires, le pôle étant à l'origine des premières 5 ce qui est le cas que nous examinerons en premier lieu.
115. Soient donc les axes AX, AY, que nous supposerons d'abord rectangulaires; prenons l'axe des x positifs pour origine des angles variables, et pour pôle l'origine des coordonnées x elj.
Les coordonnées polaires d'un point sont la longueur de la droite qui joint le pôle à ce point , ou le rayon vecteur du point; et l'angle que fait avec l'axe la direction du rayon vecteur, qui est celle de la droite partant du pôle et allant vers le point. Nous désignerons ces deux coordonnées par r et qp. Il s'agit de trouver deux équations générales entre x^ y^ r, cy, d'où l'on pourra tirer j: et j^ en fonction de r et y, ou réciproquement r et cf en fonction de x etj^.
Soit M {fig* 32) un point quelconque du plan. Ses coordonnées seront, quant à la grandeur seulement, les
Fig. 32.
deux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est r; quant aux signes, on voit immédiatement que le cosinus de
l6o ÉTUDE DES COURBES.
l'angle (f est positif ou négatif en même temps que x , et que sincf est de même positif ou négatif en même temps qaej] de sorte que les deux équations entre a?, j", (p, r sont
( 7 ) jc = r cos <p , jr = r sin <fy
en entendant que sin cp , cos cp prennent pour les diverses valeurs de cp les signes admis dans la Trigonométrie ; que X etj sont positifs dans un sens et négatifs dans l'autre ; enfin que /• est toujours la valeur absolue du rayon vec^ teur. ^
116. Si le pôle était différent de l'origine, et avait pour coordonnées a et &, les formules seraient évidemmenti d'après ce que nous avons dit ci-dessus,
(8) r m ^ 4- r cos cp , j^ r=r ^ 4- r sin ç .
Si les axes primitifs faisaient entre eux un angle quelconque 0, les formules seraient
rsin (0 — ») , /-sin©
sm sm
Enfin, si l'axe polaire faisait avec AX un angle a positif ou négatif, les formules seraient
, , rsin (0 — © — a) , /-sin (© H- a)
^^ sm0 sm0
117. Si l'on voulait au contraire pafsser d'un système de coordonnées polaires à un système de coordonnées rectilignes, par rapport auquel le pôle et l'axe polaire seraient situés comme nous l'avons supposé dans les formules précédentes, il suffirait de tirer de ces dernières les valeurs de r et (f eux ety^ et de les substituer dans les équations données en 7' et y.
Considérons, par exemple, les équations (8). Elles dœi-
