CHAPITRE PREMIEH. y

pDiuTont èlrc rédiiils à des nionùmcs, comme nous l'avons intliqiié précédemment, cl l;i ligne représentée par la fraclion ainsi transformée se construiia par une suite de quatrièmes proportionnelles.

2" Si la formule de l'iacoiunir reiilcrnic des ladicaux du second degré, et que les (piantiti''s (jui v sont smnnises soient des expressions rationnelles c[ueIcojupics, on pourra commencer par les réduire, comme nous venons de l'indiquer, à des monômes entiers ou fractionnaires, suis, m!

que le numérateur y sera de degré plus éle\é ou ins

élevé que le dénominateur. Dans le premier cas, on ]Hiiirrii, par une suite de quatrièmes proportionnelles, réduire la quantité sous le radical à un produit de facteurs linéaires; et dans le second, à l'unité divisée par un produit. Ce cas, en renversant le radical, rentre dans le prcniicr. ipid sufiit par conséquent d'examiner.

S'il n"v a que deux i'acteurs, la racine sera leur mii\enn(' proportionnelle et se construira faeilemcnl.

S'il y en a un nomlji'e plus grand qnr diiix.on les iiioupera deux à deux, el une suite de niovcnnes proportionnelles réduira le radical au produit d'autant de lignes qu'il y aura de ces groupes, si les facteurs sont en nomhre pair. El si ce nombre élail impair, il resterait j'indicaiion de la racine du dernier; ce facteur se combinera avec rjuekpie autre d'après la forme de l'expression donnée (pii, d'après le principe de l'homogénéité, doit toujours èlic du premier degré, puisqu'elle est la valeur d'une ligne.

En agissant ainsi pour tous les radicaux du second degré qui entrent dans l'expression de la ligne à construire, on finira par la rendre rationnelle, et alors on procédera comme dans le premier cas.

Il est évident que ce procédé pourra s'appliquer à plusieurs racines carrées accumulées les unes sur les autres.

Mais si 1 l'xpression de la li^iie iiiconiiMc r rnliTUiail <li;s

'j4 sciekce de l'étekdie.

riidicaiix non ri'cluctibles au second degré, ou encore si l'inconnue est la racine dune équation qu'on ne sait pas résoudre, les procédés que nous venons d'indiquer ne peuvent ])lus s"a|)pliquer; et ce n'est que plus tard que nous pourrons nous occuper de cette question.

Ql E TOIS LES PROBLÈMES PEUVENT ÊTRE RAMENÉS A LA DÉTEItMlNATlON DES LONGIEI RS DE CERTAINES DROITES.

13. Ln proljjènie de Géométiie ne peut avoir pour objet que la détermination de jioints ou de grandeurs d'espèce quelconque, comme des lignes, des angles, des figures planes ou des solides

La détermination des angles peut être ramenée à celle de lignes droites; c^i", en les faisant entrer comme éléments de triangles, il suffiia de connaître les côtés de ces triangles, ou seulement leurs rapports, pour que les angles en question soient eux-mêmes connus.

Une figure plane quelconque qui ne renferme pas de lignes courbes se ramène évidemment à la connaissance de certaines droites, ou d'angles, lesquels se ramènent à des droites. El il en serait de même d'un solide qui ne renfermerait dans sa construction aucune surface courbe.

Quant à la détermination de la position d'un point, il est l'acile de voir commeuL elle se ramène à celle de la longueur de certaines droites.

En efi'et, si ce point doit èli-e ilaiis un |ilai] (Inriné et sur une ligne connue, il suffit de connaître sa distance à un point connu de cette ligne; et si Ton ne connaît aucune ligne du pliin (nii le renlei-me, sa position sera déterminée si l'on connait ses distances à deux points donnés, ou à deux lignes données, ou encore à un ]i(iiril il une li^uc connus. ImiIIii il peut être déterminé jiiii- sa distance à un ])oint du plan ri par l'angle (pie fait a\ec une droite con-

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mie la ligne qui le joiiil à ce point. Or un angle se ramène, comme nous Tavons dit, à des droites.

D'où Ton voit que la rccherclie de la position d'un point peut, de bien des manières, être ramenée à celle de la longueur de certaines droites.

Si les constructions demandées n'élaienl i)as dans un même plan, elles se ramèneraient de même à la connaissance de lignes, d"angles ou de positions de points. Et la |)Osition d'un point se déterminerait par ses distances à trois points ou à trois plans, et de diverses autres manières que nous pourrons indiquer plus tard.

Si les figures ou solides renferment des cercles ou des sphères, leur détermination est ramenée à celle de leur centre et de leur ra\on, et par conséquent à celle de certaines longueurs. Quant aux autres lignes ou surfaces courbes, on ne les admet pas ordinairement dans les éléments, et nous en parlerons bientôt.

Ces divers movens de détermination des j)oints peuvent donner lieu à quelque incertitude, et souxenl une discus- .sion est nécessaire jiour reconnaître le point cherché parmi d'autres que fournirait la construction. INous verrons par (piels movens on est parvenu à éviter cette confusion et à distinguer sans ambiguïté, dans les résultats du calcul, ce qui correspond précisément à ce que l'on cherche.

Quelles que soient les grandeurs au mo\en desquelles trn point soit déterminé, on leur donne le nom général de coordonnées de ce pr)inl.