CHAPITRE XIII. 2'JO

F'(x) le seul terme niPx"'~' v" et dans F'( ) ) le seul ternie /iPx^K""' . Nous pourrons développer F(x' ~r li,y^ comme il suit :

(3) F(ar'-^A,y) ^F(x',y)- AF'Ca-') - AA'-- BA'- ...

A, B, ... représentaiil, pour abréger, les dérivées successives par rapport à x de F(j:, )), divisées par des nombres connus, et dans lesquelles on remplace x^ y par .r', y' .

Changeant maintenant j-' en )'' — li dans les deux membres, le premier terme du second membre deviendra F( j:', y — k) et se développera ainsi

F(^,y-- /O = F(^',y ) — /.-F'(y » -r- \il;'- B, k'- - . . . ,

les coefficients A, , B, , ... représentant les dérivées de F (x, y) par rapport à v, divisées par des nombres connus, et dans lesquelles on substituera à x et r les valeurs x' , y qui peuvent être des nombres particuliers.

Le second terme hF'{x') delà formule (3) se dévelop- |)era d'une manière analogue, parce que F'(^') renferme j'^ qu'on y changera en k' ^- /.", ce qui changera F'(x' | en

F'{x') — A«k-niA-'-- ....

11 en sera de même des autres termes A/j-, ]Mû , ... de la formule (3), puisque les coefficients A, B, . . . d 'signent des polvnùmes renfermant x',jk'.

On voit donc que le développement de F(x' — h,y' f Aj aura F{x', y') pour terme indépendant de /t Jet /,•; les termes qui ne renfermeront qu'un seul facteur h ou k seront

/iFVx') -A-F'ry),

et tous les autres renfermeront a» moins diu\ de ces lacteurs, dont le nombre le plus élevé dépend, d'une ma-

nière facile à apercevoir, du degré du polynôme F{x, v) en ce et r.

Si mainlenant nous remplaçons, comme nous l'avons dit, /,par^— , le développement de F[x'~i-h, }'+/.) pourra se mettre sous la l'orme suivante / F(.r'-+- //,.)■■- /[-) ( --=F(^',y)-/(F'(x')-^- :^lF'(r')^ Mh^

M désignant un ensemble de termes où /* sera en facteur à divers degrés, depuis o jusqu'à une valeur dépendant du degré deF{x,)-).

Nous avons ainsi efl'ectué le calcul primitivement indiqué; le terme indépendant de h est, comme nous l'avions pré\ u, F(x',y), et est nul, puisque le point (x' , r') est sur la courbe.

Comme le point dont les coordonnées sont ,r' -i- /',.r' -i- /. est aussi sur la courbe, on a

cl l'équation (4) se réduit à

o = hF'(x')^ -■'- F'ir')-^ M/(2.

On voit, comme nous l'avions encore annoncé, que h est facteur à tous les termes, et, en le supprimant, on aura

(5) o = F'(r')--'-F'(y)-^MA.

Celle équation, renfermant /i et ,<;, ferait connaître la valeur de la sous-sécante s pour une valeur déterminée de /i ; ce calcul serait sans intérèl et offrirait beaucoup de difficultés par la manière dont s entre dans M. Mais ce serait inu-