CHAPITRE Mil

tile pour noire ol)j('l, qui est de calculer la liniilc do s, ou de ; quand /( tend \ers zéro.

Faisant donc tendre /i vers zéro dans (5), et a désignant 1,1 limite de s, on ol)liendra, d'après le principe des limites, l'équation exacte

o = F'(x') -■^F'(y), doù

et l'équation de la tangente sera F'f jt'^

(:) jF'o-') ■xF'{x')-.yF-(y) rx'F'ix').

^liS. 1,0 second mendire de cette dernière équation rcnfermej'' et ^' an degré le plus élevé où ils entrent dans F(x' , y); mais on peut l'abaisser au nioven d'une |)ropriété des polynômes homogènes, qui sera généralisée plus tard.

Considérons, en cfTet, tous les termes de ce second membre qui ont le degré le plus élevé et constituent un polynôme homogène du même degré m que F(.r, r).

Un (|uelconquc d'entre eux sera de la l'orme Pj" x"'~". .Ses deux dérivées, par rapport à x et à )', seront

Itl'jn-t X'"- " et ( m — « ) P j«.f"i-" I ;

multipliant la première par v et la seconde par .r, puis les ajoutant, on aura les termes dey F'( )■) -•- xV(x') qui proviendront du terme Pj" j;'" " ; cette somme est mPj"x"^'". Tous les termes de degré /n de yF'(yj -■- x'F' (x') ne seront donc autre chose que les termes de degré m de F[x',y) multipliés |)ar i>i.

Celle propriélé, que nous venons de démontrer pour tous les polynômes homogènes par rapport à deux variables, permettra de simplifier l'équation (7), puisque tous les termes du degré m de son second membre pourront, au moyen de l'équation de la courbe, s'exprimer au moyen de termes du degré m — i au plus.

Cette simplication sera particulièrement utile quand les coordonnées x' , y' du point de contact seront des inconnues qu'il s'agira de déterminer.