Equation d'une tangente parallèle à une droite donnée

Soit a le coefficient d'inclinaison de la droite donnée, «m di'vni avoir

— a et Ff.r'. y) = o,

équations qui détermineront x' , y' , et par suite les diverses tangentes parallèles à la direction donnée.

La première de ces deux équations se déduirait de l'équation (7) en supposant que le point donné (a, ê) s'éloigne indéliniment sur une droite dont le coefficient d'inclinaison serait a.

Les points de contact pourraient encore cire construits par l'nlersection de la courbe donnée et du lieu de l'équation

F''>> F ( v> ~ ' ou

aV(y)— F'(x) = o,

qui sera d'un deg^-é moindre d'une unité que la j>roposée.

"iSo ÉTUDE DES COURBES.

On pourrait se proposer les mêmes questions pour les normales. La marche serait la même; mais le calcul serait plus compliqué, dans chaque cas particulier, parce que l'équation générale des normales n'est pas susceplii)le de la même simplification que celle des tangentes.

!222. ^/pplication aux courbes du second degré. Soit l'équation générale du second degré ( [ ) a y- — h xy -^ c .r- — dy -+- e x — y = o.

L'équation (6) de la tangente est, dans ce cas,

, ar,7-' ^- h y' — e . ,

-' ~ nay — bx -.- d '

L'équation (^), qui s'obtient en chassant le dénominateur, sera

\ y (lay' — b.r' ^^ d\-^ x {icx' ^ by' ^^ e) \ = v' {■>, a y' - - b x' — d i — .r' ( 2 c x — by' — e).

Les termes du second degré en x' clj' forment le trinôme

■i(ay'- -T- bx'y' — ex'-),

et d'après Téquation (i), (pii est satisl'aite par x' , y' , celte expression se réduira à la suivante

— •! ( dy' -'- e x' -,- f)

qui ne renferme plus ,1', r' qu'au premier degré. C'est la

simplification que nous avons démontréeen général (n" 218).

Le second membre de l'équation (3) se réduit alors à

— dy' — ex-' -if,

(le sorte que l'équation (3) peut s'écrire ainsi :

j 2 en -y' :- b i xy' — yx ) --- ■?. c xx' -h d(y -- y' )

CHAPITKF. Mil. O.bl

On emploie souvent celle l'orme à cause Je la syniélrie des termes, qui sont ordonnés par rapport auxcoeflicienls de l'équation de la courbe.

Si on veut l'ordonner par rapport à x et )', connue l 'é- (pialion (3), on obtiendra

l yiiay' - bx' -^ d)-^ x(->.CJr' -^ by' -^ e) \ ■+- dy' -r- ex' -^ 2/= o.