Mener une tangente par un point extérieur

Soient a, 6 les coordonnées du point par lequel il Aiul mener une tangente à la courbe représentée par l'équation (i). Nous prendrons l'équation (4) pour représenter la tangente au point inconnu [x', y). Il faudra alors exprimer que cette équation est satisfaite quand on y remplace les coordonnées courantes .r, )■ par a et ê, de sorte que les inconnues x\ y' devront être délerniinées par les deux équations suivantes :

ay'- -f- bx'y' -^ ex'- -t- dy' -r- ex' — y = o, lafiy' — b(y.y' -^ 6.r') - 2ci.r' -i- f/( 6 — v')

~ ri-i "■ ,/•' I - 2/' - o.

En éliminant j', on aura une équation du second degré, au plus, en x\ qui donnera deux racines, qui pourront être réelles, inégales ou égales, ou enfin imaginaires. Nous n'en- Irerons pas dans cette discussion, qui n'offre aucune difficulté.

22 i. La remarque que nous avons faite dans le cas d'une équation de degré quelconque ofiVe quelque chose d'intéressant dans le cas des courbes du second degré. Les deux équations précédentes étant séparément construites, en y regardant j;',j'' comme des coordonnées variables, ces deux lieux, par leur intersection, donneront les points dont les coordonnées sont désignées par jc',k', c'est-à-dire les points de contact des tangentes cherchées.

282 ÉTUDE DES COUUBES.

Le premier de ces lieux sera la courbe proposée ; le second sera une droite ayant pour équation

,„ 1 2«8t - />{y.r - èx)-^ ic'xx — d(ê -^ y)

Sa l'orme est la niéiiic <jiie celle de l'équation des tangentes; seulement les coordonnées a, 6 du point d'où partent les tangentes remplacent celles du point de contact.

L'équation (6) est donc celle de la droite qui passe par les deux points de contact des tangentes menées par le point (a, 6), lorsque céte tangentes existent. SI ce point était sur la courbe même, la droite ne serait autre chose que la tangente en ce point. S'il était dans la partie du plan d'où il est impossible de mener des tangentes, ce qui a lieu quand les valeurs de ■r',^^' sont imaginaires, l'équation (6) n'en est pas moins réelle et représente encore une droite, mais qui ne coupe pas la courbe. Cette droite est ce qu'on nomme la polaire du point (a, ê), qui en est dit le pôle.

Dans tous les cas, la théorie des pôles et des polaires offre beaucoup d'intérêt dans l'étude des courbes du second degré ; elle fait partie essentielle d'un traité spécial de ces courbes, mais elle ne peut entrer dans le cadre que nous nous sommes tracé.

2!2o. Taiif^enle parallèle à une direction donnée. Soit )• = iiix la droite à laquelle la tangente doit être parallèle ; on devra avoir

ao.r'-^- by' ^- e

"xciy -\- ox —a

OU

(7) m(ay - bx' - ci')— 2. ex' — by' - - e = o.

Celte équation représente la droite qui joint les points de contact, en y regardant x' , y' comme variables. On voit qu'elle passe par le centre, quand il existe, parce que l'é-