CHAPITRE XIII

et par conséquent le coefficient d'inclinaison de la tangente au point (j/, )■'), est

!230. Si l'on désigne par h l'angle de la tangente avec

l'axe des x, on aura

tanse = ■^■ m

Or, la sous-langente sur l'axe des x est généralement égale

à ^ , : elle est donc dans ce cas éçrale à m. langfj' °

La courbe proposée, qu'on nomme la logarithmique. jouit donc de la propriété que sa sous-tangente sur l'axe des X est constante.

L'équation de cette courbe pourrait être mise sous la

l'orme x ^= n\\- ou, en changeant les lettres, y m\--

!231. yl ut rtf exemple. — Prenons encore pour exemple la courbe dont l'équation est

y — a sin ^•

Le coefficient d'inclinaison de la tangente est la limite du rapport y ) Il et k étant les accroissements correspondants des coordonnées, à partir du point de contact. Or, quelle que soit la valeur de x, à laquelle on donne un accroissement /i, on aura

, ■ l ^ fi \ . ■'" . /' / j" /> \

/. = a sin ( 1 1 — a =111 — — ia sin cos | ) •

' fil /II/ m 2.111 \ni -xm I

, , , sin acosl — .

\/W 2//t/ Il

Donc

. h , , sin —

50 ETUDE DES COIIIBES.

La question est donc ramenée à trouver la limite de . //

Si dans cette expression on pose — = a, elle devient

I s Ml 2

et, comme a tend vers zéro, ^^ — a pour limite i .

sm

1 1 ■ • 1 ^.in^ I • • I 1 •

J^a limite de — ; a donc pour liniile 1 et 1 on aura

iirii cos — •

L'équation de la tangente à la courbe au point (.r', )') sera donc

r—y= TT. CVS '^ (X — .r' ).

il existe génébxilement une tangente es tout point d'une courbe quelconque.

232. La considération des tangentes est tellement utile dans l'élude des courbes, quil \ a intérêt à s'assurer si l'on peut en mener une en tout point d'une coui'be quelconque ; et comme son ex-islcnce dépend entièrement de la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordonnées, la question est ramenée à celle-ci :

Le in/>/)ort des accroissements correspondants d'une variable et d'une fonction continue (juelcont/ue de cette variable a-t-il généralement une limite finie, ijuand ces accroissements tendent l'crs la limite zéro ?