CHAPITRE SIII

233. Soit F(.r) une fonction continue quelconque de .r, que nous désignerons par )■. Considérons un intervalle quelconque dans lequel cette fonction varie dans le nu'mc sens, soit en croissant, soit en décroissant, quand .r croît d'une manière continue, de sa plus petite valeur Xo à sa plus grande X. Les valeurs correspondantes de >' étant désignées parj'o et Y, les valeurs de y varieront dans le même sens, par exemple en croissant, de l'o à V.

Cela pose, partageons l'intervalle X — j:,, en n parties égsles. Désignons par h une de ces parties, et par A,, k,, I;. A„lesaccroissementspositifssuccessifsde)', correspondant aux accroissements successifs II donnes à x. Nous aurons

\ — Xo = n/i, Y — l'o = Xi — A\ ■ . . . - kn, d'où

^ — ,v„ I Ikj^ /-î ^V \ — J^o ~ « h h ' " Il )

c'est-à-dire que le rapport invariable des accroissements finis de x et de y^ quand on passe de j",, à X, est la moyenne

arithmétique des rapports / ' 7^' • • • ' 7"' f]ncl que soit le

nombre entier n.

Si maintenant on fait croître /) indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro, cl leur moyenne arithmétique étant toujours égaie ù la (juaiuité liiiio ^ - - , il

est impossible qu'ils tendent tous vers zéro, ou (pi'ils croissent tous indéfiniment.

Cette conclusion, relative à l'inlervalle X — x^^ pouvant être appliquée à toute partie de cet intervalle, il s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle fini, la valeur

de ' tende vers zéro, ou croisse indéfiniment pour toutes les

\aleurs de j". Ce n'est donc que pour des valeurs exception-

L)iB. — Méth. III. ig

2CjO ÉTUDE DES COURBES.

nelles et en nomlire limité que j peut ne pas avoir une limite finie; ce que nous l'oulions établi/-.

On reconnaît facilement qu'on aurait pu supposer inégaux les accroissements indéfiniment décroissants de x, en se fondant sur ce que la somme des numérateurs de plusieurs fractions divisée par la somme des dénominateurs est une moyenne entre la plus petite et la plus grande de ces fractions.

Nous avons supposé dans ce raisonnement que Y — i\, avait une valeur difi"érente de zéro. En ne s'assujettissant pas à cette condition, voyons s'il est possible que toutes les

valeurs de j aient zéro pour limite.

Or, si tous ces rapports tendent vers zéro, leur moyenne

y tendra aussi; et, comme sa valeur t^. — '—^ est constante,

elle ne pourra être que zéro. On aura donc Y ^,>'o- Et comme il en sera de même si l'on considère l'intervalle entre x,, et toute autre valeur choisie entre Xg et X, il en résulte que toutes les valeurs de j' correspondantes aux valeurs de T comprises entre Xq et X sont égales à jp- La fonction désignée par .r ne serait donc autre chose qu'une

constante; et l'on volt qu'alors non seulement v tendra

vers zéro, mais qu'il sera toujours rigoureusement nul. Le lieu dont l'ordonnée serait désignée par ;k serait donc une droite |iarallèle à l'axe des x.

234. Si Ion ^eut examiner riiv|)otlicse où tous les rapports J croîtraient indéfiniment, il suffira de remarquei'

([ualois tous les rappoiis réciprocpies j tendraient vers zéro, cl par conséquent, d'après ce qui vient d'être dit, on

CIIAPITUE Mil. agi

ile\ rail avoir X =3: Xq pour toutes les valeurs de r com|)rises rnlre l'o et \ ; il n'v aurait donc pas lieu de donner des ac- I roissements à x qui serait constant ; et le lieu serait une • Iroite parallèle à l'axe des }'.

Les cas exceptionnels pour lcs(picls la limite de ' serait

nulle ou Infinie, c'est -à-dire pour lesquels j tendrait vers

zéro ou croîti'ait indéfiniment, correspondraient, dans un système de coordonnées rectilignes, aux points où les lan- {jentes seraient parallèles à l'un ou l'autre des axes; cela

résulte de la signification géométrique de la limite de j

dans un pareil s\stème.

On peut donc regarder comme établie la proposition suivante :

Le rapport des accroissements infiniment petits correspondants d' une fonction continue et de la variable dont elle dépend a généralement une linnte Jinie ; ou, en d'autres termes, les accroissements infiniment petits correspondants d'une variable et d' une fonction continue de cette variable sont du même ordre. Et, par conséquent, il existe généralement une tangente en tout point d'une courbe dont l'une des coordonnées est une fonction continue de l'autre.

235. Cette limite de rapport qui détermine la direction de la tangente est une fonction de x qui pourrait avoir des discontinuités. Si l'on considère deux valeurs de x entre lesquelles elle reste continue, il en résulte d'abord que la direction de la tangente variera d'une manière continue dans cet intervalle; mais il y a une autre conséquence qu'il importe de signaler.

Soient X et jr -r /( deux valeurs très voisines et Y {x).

292 ÉTUDE DES COrV.BES.

F (a') -r A' les valeurs correspondantes de la fonction ; les dérivées F' (jc) etF'(j:' 4- /; Sauront une très)ietilc diflércnce, qui tendra vers zéro, en même temps que //. IM;iis F'(./) diffère

<rautant moins de j que h est plus petit; donc aussi

F'(j' -f- II) dillÏTC très peu de j ou de — .- 1 et, comme — /i',

— // sont des accroissements correspondants de la fonction et de la variable à partir de a? -f- /;, il s'ensuit que la dcrivée de la fonction pour une valeur quelconque x -\- h de la variable peut être regardée comme limite du rapport des accroissements, soit qu on donne à la variable un accroissement posilij, soit qu'on le donne négatif.

Ce raisonnement supposant que F'(x) et F'(x + /i) aient une différence infiniment petite en même temps (pie /(, la conséquence ne subsisterait plus si F'(.r) n'était pas continue.