CHAPITRE \iii. 2y

lie la branche de courbe, puisque leur V' difTère de cebii de la droite d'une quantité qui Icnd vers zéro.

Celle remarque eunduit à la |iiii|ujsili()ii ^unaiile :

Lorsqu'une brandie de courbe infinie a une asyniplole, onaura le coefficient (l'inclinaison de celte droite e/i cherchant la limite du ra/>/>orl - pour tes points de celte branche lorsque x croit indèjininient.

El il csl évident que celte proposition subsisterait encore pour les asymptotes parallèles à l'axe des )'; mais nous les examinerons à part tout à l'heure.

237. Le coefficient /x étant connu, si fnti mène par l'origine A (Jig- 5o) des axes, obliques ou rectangulaires, une droite AU qui ait /• pour coefficient d'inclinaison, elle

sera parallèle à l'asvmptote qu'on suppose exister, et, les points M de la branche devant s'approcher indéfiniment de celle dernière, leur dislance Ml à AU, estimée parallèlement à l'axe desj', aura pour limite la dislance de l'asymploteà AU; cl, comme. MF eslégalà MP — IPou à l'ordonnée de la courbe diminuée de kx, on obtient celte seconde proposition :

Quand on a déterminé le coefficient d'inclinaison k de l'asymptote, on aura son ordonnée à l'origine en cherchant lu limite de j- — kx pour les points de la même brune f:e, dont on fait croître l'x indéfiniment.

294 ÉTLDE DES COURBES.

Réciproquement , si, pour les points d'une Ijranche infinie de courbe, la différence )' — kx a une limite l, k étant une constante trouvée ou choisie, n'importe comment, cette branche aura une asymptote dont l'équation sera

puiscpie la différence entre les ordonnées des points de la courbe et celles des points de cette droite tendra vers zéro.

Pour les asymptotes parallèles à l'axe des x, on aura A' = o, r — A.r se réduira à y et il faudra calculer la limite de )•.

Pourlesas^mplotes parallèles k Taxe des )', /c serait infini, et ce n'est plus )• — A\r cpie l'on considérera. Mais on fera pour l'axe des )• ce que l'on vient d'indiquer pour l'axe des .e ; et la limite des x, quand y croîtra indéfiniment, fera connaître, si elle existe, les asymptotes parallèles à l'axe des )■.

238. Remarque. — Il est très important de s'assurer, comme nous l'avons recommandé, qu'il existe réellement une branche de courbe, ou que les valeurs de j' tirées de l'équation de la courbe sont réelles : car on ne serait pas

assuré qu'elle existe par cela seul que les limites de - et ensuite dej' — kx seraient réelles. Il pourrait se faire en effet que les expressions de - et y — Aa^ renfermassent, outre des

termes réels, une partie imaginaire tendant vers zéro, quand x croît indéfiniment. Alors les limites seraientréelles, et cependant, y étant imaginaire, la branche de courbe n'existerait pas.

239. Dclermliuilion des asymptotes dans un système de coordonnées polaires.