CHAPITRE Mil

SoientA(/î,^. 5i )le pùle, AX Taxe, BU une asvniplole, M un point quelconque de la brandie de courbe, r el » ses coordonnées, a Faiigle UBX el /> la iierpendiculaiic AI abaissée du pôle sur lasymplole.

Menons par le pôle AV, parallèleà lîL , et par M une perpendiculaire H.MP à ces lignes.

Puisque BU est asymptote, MH tendra vers zéro, et Ml* vers AI ou p. La limite de la direction AM sera donc la même que celle de la droite AH, et sera, parconséqueiil , A\ . Doù l'on conclut les propositions suivantes :

1° Si une branche infinie a une as) iitptote, on connailid l'angle a qu'elle Jait avec l'axe polaire, en clierchanl la. limite de la direction du rayon vecteur meno à un point de cette branche, t/ui s'éloigne indêji niment du pôle.

2° On aura la distance de cette asymptote au pôle, en cherchant la limite du produit /•sin('j — a) ou encore de /•(» — a), puisf/ue 'i — a tend vers zéro.

11 est prestjue inutile de faire remarquer que le principe de la substitution des innniineiit petits démontré dans le cas des limites de rapports s'applique aux produits dont un des facteurs est infiniment petit el l'autre infiniment grand. El, en effet, le facteur indéfiniment croissant est égal à l'unité divisée par une quantité indéfiniment décroissante, et l'on retombe ainsi dans le cas du rapport de deux infini, ment petits.

Réciproquement, si Ion trouve que, pour une certain*'

2g6 ÉTUDE DES COURBES.

valeur d'un angle a, le produil r s\n(if — a) tend vers une limite p lorsque le rayon vecteur réel r des points de la courbe croît indéfiniment, il existe évidemment une asymptote faisant l'angle a avec l'axe et située à la dislance p du pôle.

ylpplicatioii à des con/bes de degré quelconque dans un système de cooidonnées reclilignes.

240. Considérons une équation dont le premier membre est un polynôme entier d'un degré quelconque m entre les coordonnées rectilignes a\r^ et partageons-la en groupes de termes de même degré. En mettant dans chacun d'eux en facteur la puissance de x de même degré que le groupe, l'équation pourra s'écrire ainsi :

S'il manquait quelques groupes, il suffirait de remplacer par zéro les fonctions qui multiplient les puissances correspondantes de X.

Cherchons d'abord les limites finies du rapport - que

nous désignerons par p, et pour cela divisons l'équalion (i) par .?■'"; elle deviendra

A mesure que x augmente, tous les lermes qui renferment X en diviseur tendent vers zéro, puisque nous ne nous occupons que des valeurs finies de /»; et il en résulte que, pour toules les branches infinies qui satisfont à cette condition,/) tend indéfiniment vers les racines réelles de l'é-