CHAPITRE II

cas,

.Mais en dévelopjiant le carré de a- -{- c- — /v-, on a les mêmes termes qu'en développant celui de fr — «' — c' ; les deux cas seront donc représentés par une seule expression définitive, et nous nous bornerons à suivre le calcul d'après l'une des formes, la première, par exemple. On aura ainsi

et, transformant la difl'ércnce des deux carrés dans ie proiliiil de la somme des racines par leur diflerencc,

S =-^(iac^ a'— c'' — (j-}(y.ac — a^~c^-^ 6'),

et par la même considération

S = -v/(a-i-6-+-c)(a-i-c — b) (b -i- a — cjib — c — a).

II est bon défaire ici une remarque sur la décomposition du dernier facteur 2«c — «^ — c' + 6'. Il est la différence des deux carrés i' et a' + c' — 2 ac: or, ce dernier peut ôtre celui de <7 — <■ ou de c — o, suivant que a esl plus

28 SCIE^CI■; DK L"ÉTE^Dl.E.

grand ou plus petit (pie c; mais, comme on doit ajouter cl retrancher successivement de b la racine du second carré, les deux résultats seront les mêmes quant à la forme; seulement chacun d'eux exprimera dans un cas la somme des racines, et dans l'autre cas leur différence.

On peut donner à la valeur de S une forme plus simple en introduisant le périmètre 2/> du triangle, c'est-à-dire en posant a -r b -\- c= ip. On trouvera ainsi

S = \f]ji^p — a) (p — b) ip — c).

('etlc formule était connue des anciens géomètres.

l.j. Trouver l' expression du rayon d'un cercle langent à trois droites données.

Ce cercle peut èVie inscrit au triangle formé par ces trois droites, ou tangent aux prolongements de ses côtés. Cela donne lieu, en général, à quatre cercles différents.

En considérant celui qui est dans l'intérieur du triangle, son ravon est la hauteur commune des trois droites qui composent la surface du triangle; d'où Ton déduit, en cmjdovant les mêmes dénominations que jirécédemment, et désignant le ravcni ]iar R,

R = "—'—'' = s = //j {p — a){p — b}(j> — C), et par suite

yj ^ . /l/' —•«)(/> — 6)(7? — c)

On trouvera semblahlement pour les trois autres cercles

IV = » / P^l> — b){p — c)^ j^, ^ /p\p — a)(p — c)^ y p—a ' y p—b