CHAPITRE XIV

COMMENT LA CDXSIDÉRATUJiN DES LIMITES DE RAPPORTS D'LNKIXIMENT PETITS RAMÈNE TOUTES LES VARIATIONS A L'UNIFORMITÉ.

2oG. Nous avons t'iahli cctlc proposition, que :

Quelle que soit la nature de deux giandeui's ijui dépendent l' une de l'iiutre par une liaison quelconque, il y a i^énéralernent une limite Jinie jwur le /apport de leurs accroissements infiniment petits.

Quand on a choisi l'une des grandeurs pour variable indépendante, l'autre en est une fonction; son accroissement dépend deraccroissement de la première, et en même temps de la valeur de la variable, à partir de laquelle cet accroissement a lieu; le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable indépendante est aussi fonction de ces deux quantités ; mais la limite (îe ce rapport ne dépend plus que de la valeur de la variable. On lui donne le nom de Jonction dérivée, ou simplement dérivée, de la (onction proposée.

C'est, comme on voit, une extension de la notion de dérivées que nous avions donnée dans la théorie des fonctions entières. Elle se rapportera maintenant à des fonctions continues quelconques. Nous la désignerons toujours par le même signe : ainsi, x désignant la variable indépendante et F {x) la fonction, sa dérivée sera représentée par F'(jr); de sorte que, si h désigne raccroissement infiniment petit ([ue l'on donne à x, on aura

n Iim - , — l< (r ,

CHAPITUF. XIV. 3l5

el l'on a démonliv (n° :23oj ([11011 trouve la inùiiio liniilipour ce rapjiorl. quel que soit le siffne de /(, pourvu que la ibnction désiifnée par F'(.r) soit conliiiue par rapport à X.

207. La |)ri(pi)sili()ii générale exprimée parla lornuile (i) conduit à des eonsi'-quenees iinportaiites.

En efi'et, puisque le rapport variable a pour limite F'(.r), il est égal à F'(x) augmenté d'une quantité, positive ou négalive, dont la limite est zéro. Si on la désigne par m, on aura

ou

(2) Yi J- ~ /i) — F(x) — //[FUor)-' 10].

Celle formule permcl de généraliser une proj)osition précédemment établie dans le cas des fondions entières. On voit, en effet, que si F'(x) n'est pas nul, to. avant pour limite zéro, finira par devenir el rester niDiiidn' (pie F'(.r), de sorte que le signe F'(.r) + oj restera coiistanimeiit le même que celui de F'(x); d'où se conclut la proposition suivante :

L 'accroisseinenl d' une fonction (jiwLomiuc est de même signe //ne celui de la variable si la dérivée de cette Jonction est positi%'e; il est de signe contraire si elle est ncgatii'e.

208. Il résulte de la formule (2) que l'accroissement de toute fonction peut être considéré comme composé de deux parties dont l'une, V(x)h est proportionnelle à l'accroissement de la variable indépendante, et l'autre, /< w, est infiiiimenl petite par rapport à la première. On pourra donc, dans toutes les questions qui ne dépendront que des limites de rajjporls ou de sommcsd'inliniment petits de nièmi' ordre

3l6 ÉTUDE DES COURBES.

que ces accroissements, négliger la partie /im, et remplacer F (x ~h h) — F (a;) pa.rF'{x)h, sans qu'il en résulte aucune erreur dans les équations obtenues en passant aux limites.

On pei.l donc énoncer la proposition suivante :

Toute Jonction peut être considéfée comme croissant uni/or mê/n en t en même temps (pie la variable indépendante, jiounni (pie ce soit dans un intervalle infiniment petit .

Et, par conséquent, si l'on partage un intervalle fini quelconque en intervalles infiniment petits, l'accroissement fini de la fonction pourra être considéré comme composé d'une suite d'accroissements infiniment petits, vai-iant tous unifijrmément dans leurs intervalles respectifs, avec des coefficients différents, qui sont les valeurs F'(x) correspondant aux commencements de ces intervalles.

On voit ainsi comment, par la considération des infiniment petits, les variations les plus complexes sont ramenées à des variations uniformes ; ce qui est le plus grand degré de simplicité qu'on puisse désirer.

Dans bien des circonstances on donne le nom de coefficient à la constante par laquelle il faut multiplier les accroissements d'une variable indépendante, pour obtenir ceux d'une fonction qui varie uniformément entre certaines limites. Il serait donc naturel de donner celte dénomination à la quantité constante F'(x) par laquelle il faut multiplier h pour avoir l'accroissement de F [x), entre des limites infiniment petites. Nous pensons donc qu'on pourrait appeler la dérivée le coefficient d' accroissement de la fonction. On l'a désignée quelquefois sous le nom de coefficient différentiel de la fonction; la dénomination que nous proposons nous paraît indiquer d'une manière plus nette le rôle qu'cllejoue dans l'expression de l'accroissement de la fonction.

CHAPlTIiE XIV. 3 17

Exemples de vciriations uniformes sii/islitiiecs à des variations complexes .

259. Si l'on considère la c.ourljc ;i\aiil jiniir l'ijiialion

raccroisscmcnl inlniiiiiLMU petit ilc ripi(li)ini('-e correspondanl à l'accroissenieni A do Tabsci-ssc sera considéré comme étant F'(.r) /<, qui est raccroissemenl de l'ordonnée de la tangente au point dont l'abscisse est x. Ce sera donc remplacer la courbe par sa tangente dans un intervalle infiniment petit, qX substituer ainsi une variation uniforme ci la variation compliquée de V ordonnée:.

2(50. Dérivées des aires des courbes planes. — En considérant d'abord une courbe rapportée à des axes rectangulaires, et l'aire comprise entre une ordonnée fixe et Tordonnce variable correspondante à l'abscisse ./■, l'accroissemcnt que prendra celte aire quand x preruha un accroissement infiniment petit /( ne difl'ércra du rectangle construit sur // et sur l'ordonnée que d'une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement : cela a été démontré précédemment; d'où il résulte que la limite du rapport de l'accroissement de l'aire à h sera l'ordonnée même F(x).

On pourra donc prendre V{x) h coininr l'accroissement de l'aire, dans un intervalle infiniment jtclll.

En coordonnées polaires, l'accroissementde l'aire décrite par le rayon vecteur r, et correspondant à un accroissement // de l'angle, ne difTère du secteur circulaire dont l'angle au centre serait /* que d'une cjuantilé infiniment petite par rapport à ce secteur. La limite du ra])p(jrt des accroissements, ou la dérivée de l'aire par rap|)oit à l'angle, sera

donc égale à — •

3l8 ÉTUDE DES COURBES.

Il en résulte que. /; reslant infiniment petit, raccroissement de Faire peut être représenté par l'expression — h. <lont la variation est uniforme.