CHAPITRE XIV

unilorme, dans lequel la vilesse serait

Fin.

On a donc éU- iialiirellemeiil coiidiiil à appeler F' (t) la vitesse du mobile à l'iiislanl délcrniiné par /, quelle (pie soit la loi du mouvement varié.

267. y4ccél(;ratio?i. — Dans un mou\t'(nen[ vai'ié quelconque, la vilesse, telle que nous venons de la définir, varie à chaque instant. Le cas le plus simple est celui où elle varie unilorniément avec le temps. Dans un pareil mou\ement on nomme accélération la quantité constante dont elle croît dans chaque unité de temps, et ce mouvement est dit uniformément accéléré. On y comprend le cas du mouvement uniformément relardé, c'est-à-dire dans lequel la vitesse décroîtrait uniformément quand le temps croîtrait uniformément, en regardant alors l'accélération comme négative. Dans un mouvement de ce genre, l'accroissement de la vitesse dans un temps quelconque est égal au produit de ce temps par l'accélération.

Cela posé, considérons un mouvement rectiligne quelconque, représenté par l'équation

■ I proposons-nous de calculer Faccroissement f[ue prend la \ilesse quand le temps augmente de /;.

Or, la vitesse étant représentée ])ar la (hhisée F'(/), son acci'oisseraent pourra être considéré, daprés le théorème génértd, comme composé de deux parties, la première égale au produit de h par la dérivée de F'( /), ([ue nous désignenms par F''(<), plus une quantité infiniment petite par i.ipport à ce produit.

Donc, dans toutes les questions où l'on n'a en vue que les lirniles de rapports ou de sommes d'infiniment petits, on [lourra considérer raccroissement de la vitesse dans le

temps /( comme égal à

Doi'i l'on voit (jue l'on jjeiiL considérer le mouvemenl varié qu.dconque comme remplacé dans un temps infiniment petit par un mouvement uniformément varié, dans lequel l'accélération serait V" [t ), ou la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

On a donné naturellement le nom ^'accélération, dans le mouvement varié, à cette quantité F' (/), qui est réellement celle du mouvement qui peut remplace^' le proposé à l'instant donné, pendant un temps infiniment petit.

268. Obseruafion. — Ces exemples sulfisent pour bien faire comprendre comment, et à quelle condition, les infiniment petits ramènent les variables les plus complexes à la considération de l'uniformité. Il suffit pour cela de décomposer la grandeur en parties infiniment petites; mais la partie négligée pour obtenir l'uniformité n'est sans influence sur les résultats que lorsqu'ils dépendent seulement des limites des rapports ou des sommes de ces éléments infini ment petits.

CHAPITRJ': XV.

PROBLÈME LWERSE, OU DÉTEUiilXATION DES COUKBES PAR LEURS TANGENTES.

269. Dans ce qui pri'-code, nous avons su|)posé que tous les points d'une courbe élaient donnés, soil par une équation, soit par un mode quelconque de génération, et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ses points. On pourrait réciproquement se donner l'équation générale, ou un mode de génération de toutes les tangentes à une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce ])roblème inverse se résoudra au moven de la proposition sui\unte :

Le point de contact d'une tangente à une courbe t/uelconque est la limite de son point de rencontre ai'ec une tangente injininient voisine.

Pour le prouver, soient T.MT' {J'g- fii ) une tangente fixe,

M son point de contact, .M' un ])oirit dr la couriic infiniment voisin de M, LiM' la tangente en M', et I son point de rencontre avec T'T. La corde MM' tend vers zéro lorsque M' tend vers sa limite M, et c'est le plus grand côté du triangle MIM'; car, d'après la définition de la tangente, la

326 ÉTLDE DES COLKBES.

sécanle MM', tendant \ers zéro, fait avec la tangente en M ou M' un angle dont la limite est zéro; l'angle I, opposé à MM', tend donc vers deux droits; et le côté MM', opposé au plus grand angle, est le plus gTand du triangle. La distance IM, plus petite que MM', tend donc vers zéro, et par conséquent le point flxe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infiniment voisine.

De là résulte la solution du problème qui consiste à déduire tous les points d'une courbe de la connaissance de ses tangentes. Pour cela, on considérera l'une quelconque de ces dernières, et l'on cherchera sa rencontre avec une tangente voisine, d'après les équations connues de ces lignes, ou d'après la loi donnée de leur construction : on déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première; on connaîtra ainsi le point de la coui-be qui se trouve sur une tangente quelconque : le problème revient alors à une recherche ordinaire de lieu géométrique.

Observation. — Il est bien certain que, si l'on admet qu'il y ait une courbe tangente au système des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer. Mais si l'existence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l'on obtient ainsi sera effectivement tangente à toutes les droites du svstèrae qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites telles que, dans le passage continu de l'une à l'autre, chacune rencontre toujours celle qui suit, et faisons passer une courbe par tous les points de rencontre successifs de chacune d'elles et de celle qui la suit, ce qui peut se faire d'une infinité de manières. Chaque droite sera coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit, en deux points qui seront d'autant plus près du lieu de limite, que les droites sont plus voisines ; la distance de ces deux points