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" \.\' ^ MM N.\' ~ V a

MO' bu

AO' av

CHAPITUE XV. 32y

I av — bx)- — la-by — lab-x —- a-b- — o,

ce qui détermine une parabole tangenle en B et C aux deu\ droites A^ , AX.

!2T!2. Luc (hoito mobile NM con/janl les deux droitex fixes AX , AY de telle sorte que AM -^ AN .<otf égale à une constante a, trouver la courbe à laquelle elle est constamment tangente.

Si 1 on pose A\ - ti, AM - c, la condition donnée sera exprimée par l'équation

La droite MX est donc déterminée par une é(|ualion qui n'est qu'un cas particulier de la précédente, et correspond

La solution de la question proposée s'obtiendra donc en faisant b = o dans celle de la précédente, ce qui donnera (a-f-a- — y)---= \ar.

iJT3. La droite MN (//g-. 63) se meut de telle sorte que Vvj,. 63.

le triangle AMN qu'elle détermine par ses intersections avec les lignes données AX, A\ ait une aire constante ; on demande la courbe à laquelle elle est constamment tangenle.

Pour cela, il faudra d'abord déterminer la limite I du point où celle droite, dans une quelconque de ses positions,

33o ÉTUDE DES COURBES.

est rencontrée par une droite qui s'en approclie indéfiniment, en satisfaisant constamment à la condition de l'aire invariable; et ce point I étant connu, pour une position quelconque de MN, on cherchera le lieu de ces points, pour tontes les positions de cette droite.

1° Soit O l'intersection de la droite ÎMN par une autre infiniment voisine M'N'.

Les deux triangles MOiM', JNON' seront équivalents, et, comme ils ont l'angle égal à O, on aura

."MO.M'O r. NO. NO, et, passant à la limite,

Tïï'= M'.

Le point I est donc le milieu de MN.

2° Pour avoir le lieu des points I relatifs à toutes les positions que prend MN, en supposant que le triangle AMN soit constant, ou que l'on ait AM.AN= /?i-, soient x, y les coordonnées de L on aura

k\\=-i.y, AN = 2.r,

et par suite

Le lieu est donc une hyperbole ayant pour asymptotes AX, AY.

ii74. Une droite MN {fig- 64), (/ni a itiie longueur Fig. ti',.

constante m, se meut de manière que ses extrémités res-

CHAPITUE XV. 33 I

lent sur les côtes d'un angle droit \ AX: on denuinde la

courbe à laquelle elle est toujours tangente.

Soit M'N' une posilion infinimenl voisine do MN ; ces

lignes se coupent en O, et il s'agit de trouver la limite I de

ce point. On la connaîtra si l'on détermine la limite du

MO . Ml

rapport YyT' qui ne sera autre que p--

Si de O, comme centre, on décrit les arcs de cercle M'H. NK, on aura MH = KN', puisque M'iN'=M-\; et

comme le rapport j^-^ a évidemment la même limite que

Yy^j il suffit de connaître cette dernière, qui est la même,

d'après les triangles semblables, que celle du rapport des cordes M'H, XK. Or ccdernier esll'acile à obtenir au moyen des triangles rcctilignes infiniment petits MM'Il, NN'K. Si l'on désigne leurs angles par la lettre du sommet, on aura

M'H sinM K\ sinN'

MTI " TmOI ' K\' ^ sinN ' d'où

sin.M smN

Mais les angles II et K. avant pour limite des angles droits, les limites des angles aigus dans chacun des triangles sont complémentaires. Ainsi la limite de M' est le complément de M; d'ailleurs la limite de N' est MNA: donc la limite de N sera complément de MNA. De sorte qu'en égalant les limites des rapports de la dernière proportion, on aura

,. M'H tan;; M

^K tangMi\A °

donc