M,= A^, M=ML

d'où il est facile de déduire les coordonnées x, r du point M, car on a

:L MI .r M .

A.\ m A Al m '

donc

et Ion aura l'équation entre jc, y en éliminant AM, AN

entre ces deu\ équations et la suivante AM t- AJN =^ ru'-. On trouve immédiatement

qui est l'équation du lieu demandé.

275. Il peut se faire que les considérations géométriques soient moins commodes que le calcul algébrique, et voici la marche qu'il faut suivre alors.

L'équation générale des droites données renferme un paranu'lrc qui change de l'une à l'autre. Soit a ce paramètre ;

CHAI'ITIIE XV. 333

cette équation sera donc de ht forme

F et /désignant des fonctions connues.

Changeant a en « + h, on aura l'équation d une droite voisine, qui sera

y ~ j-F{a - - h)- fia - - li \:

l'abscisse du point de rcnconlre sera donc donnée par l'équation suivante :

Il faut maintenant faire tendre h vers zéro, et chercher la limite de x; ce sera l'abscisse du point cherché, et l'équation de la droite fera connaître par suite l'ordonnée.

Mais si on laissait l'équation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ses deux membres, puisqu'on ne trouverait autre chose que 0 = 0. Le plus ordinairement il est facile de voir les réductions qui s'opèrent par les soustractions indiquées, et on reconnaît un facteur commun li à tous les termes; en le supprimant et passant aux limites des deux membres, on obtient alors la valeur limite de x.

Mais rien n'est plus facile (|ue de l'ot-rnub-r le résultat en général. En effet, si l'on divise [)ar A tous les termes de la dernière équation, et (pi'on prenne ensuite les limites, on trouvera, d'après la définition et la notation des dérivées des fonctions,

xV'{a) — /'[ a)= o.

Celle équation, jointe à la première j- =: xF(a)-'- /(a), détermine les deux coordonnées du point du lieu, et l'équation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entre ces deux équations. Si, pour la facilité des calculs, on ne réduisait pas à l'unité le coefficient de r, on aurait trois

334 ÉTUDE DES COIRBES.

fondions de a au lieu de deux, et l'on procéderait d'une manière tout à fait semblable.

Prenons, par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer ourles côtés d'un triangle \AX des segments dont la somme soit égale à une constante a.

Si l'on désigne par a le segment de l'axe des x, l'autre sera u — a, et l'équation générale des droites

iy ~-'{a — a 1^ = a(ct — a);

changeant a en r--li, il ^ient, en retranchant les deux éirualions membre à membre,

rh — xli = ah — iih — h-, ou, en divisant par h.

Cette équation, conjointement avec la première, détermine le point de rencontre, qui varie avec h. On aura sa limite en supposant h = o, ce qui réduit la seconde équation à

<'t 1 on voit que c'est comme si l'on avait pris les dérivées par rapport à a de tous les termes de la première.

L'élimination du paramètre x entre ces deux équations donne léquation suivante

qui est celle du lieu, et coincïde avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories par la suite ; nous nous écarterions de notre objet en nous y arrêtant plus longtemps.