CHAPITRE II. 3l
en abaissant de A une |ieipiiuliciilaiic AE sur UO. On déiluira de là
d'où
AD : \H :: \C : AK ou ilx : c :: h : AI-: c/> cbn
AK
Cl, comme «. AE est le double de la surface du triangle, on aura
abc
17. Expressions des diagonales d' un t/iiadrilalè/-e inscrit, en Jonction de ses côtes.
Soient
AB = a, BC = 6, CD = c, DA = cf, AG = a-, BD = y.
Pour qu'un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle, il est nécessaire que la somme des deux angles opposés, par exemple A et C {/ij^- 4)) ■'^O''^ égale à deux droits. Il suffit donc d'exprimer que le prolongcnitiil iK- I) V fait iWL'c M!
l'ig- 'a-
un angle égal à C. C'est de celte condition i|nii le ]i\ eut résulter les relations qui pourront servir à déterminer les valeurs de X el y. Voyons quelles conséquences résultent de cette condition :
Si du point B on abaisse Bif, iJi perpendiculaires sur
32 SriE.NCE DE l'ÉTE>DI)E.
CD, DA, les triangles BIIC, BAI seront semblables et
donneront
AI a W.~ b'
Or, AI cl HC peuvent s'exprimer au moyen des trois côtés des triangles ABD, CBD ; et l'on obtiendra ainsi une équation où entrera la ligne inconnue DB ou i'. Le problème sera donc résolu, puisque x s'obtiendra semblablement, et pourra d'ailleurs se déduire de r par de simples changements de lettres.
Les valeurs de AI et Cil seront, en observant que, si l'angle C est aigu, A sera obtus,
CH=^i^^il^, AI= ^■'--'-^'
■id
La proportion précédente deviendra ainsi
bc{Y'- — a- — d^) = ad(b^~ c-—y-).
d'où
, fid(b^^ c^)^ bc(n--^ d-^ (ab — cd)i nc-^ bd) ad-t-bc ad-i-bc
Pour déduire x- de y- il faut y changer chacun des côtés «, b, c, d dans celui qui le suit immédiatement, puisque, en recommençant en partant de B ce qu'on a fait en partant de A, on aura, pour obtenir la diagonale CA, les mêmes calculs à faire que pour BD, avec cette seule diflerence que chaque côté sera remplacé par celui ([ui le suit, en les rangeant circnlairemcnt dans l'ordre a, b, c, d. On aura donc
(bc-r- dti ) i bd -\- en )
ba ■+- cd et les valeurs des dia;;onales seront
, /(bc-had)(bd-hac) , /(a
b -+- cd){ ac-h bd) ad ■+■ bc
CIIAPITRK II. 33
18. Corollaires. — i° Eu miillipliant ces deux c\|)r(,'>- «ions el réduisant, on (rouM-
xy =: ac -i- bd,
I 'e.<t-à-dire que le rectangle des diafjonales est égal à la -onime des rectangles des côtés opposés.
Les anciens connaissaient ce théorème, qu'ils démontraient par des considérations purement géométriques. Ils s'en sers'aient pour déterminer la corde de la somme de deux arcs, quand on connaît les cordes de chacun d'eux et le ravon du cercle. Si, par exemple, on considère les deux arcs AB, BC,dont les cordes sont o, 6, la diagonale x sera la corde de la somme de ces arcs. En prenant maintenant pour seconde diagonale BD le diamètre mené par B, la relation que nous venons de trouver deviendra, en prenant le ra\on |)ùur unité,
2° En divisant x par^', on trouve
X iid — bc y ab -i- cd
'■(•. qui montre que les diagonales sont entre elles comme lis sommes des rectangles des côtés qui partent de leurs xtrémités respectives.
19. Connaissant l'hypotcnuse d'un triangle rectangle f;t la somme des deux autres côtés et de la hauteur, cal- ■ nier ces trois quantités.
Soient rt cette somme, b Ihvpolénuse, x eV y les deux 1 cUés de l'angle droit el z la hauteur. Les équations entre ces quantités se forment immédiatement par les propriétés connues du triangle rectangle et la relation imposée par
Dru. — Mttli. III. 3
34 SCIENCE DE ]. r.Ti:>Dr. E.
renoncé : elles sont
( I ) -''-T-^i' -t- - = fl, .';)■ = /'z, .?■'- — y- — b'-.
La résolution de ces équations n'offre aucune difficulté, et nous ne les avons choisies que pour montrer par un exemple simple comment le; calcul peut devenir plus ou moins compliqué, suivant la manière dont on le dirige.
On sait que dans toute équation du second degré, X- -\t px 4- (y = o, la somme des racines est — /', leur pro- .duitf^r, et la somme de leurs carrés/)- — 2 y.
Cela posé, la somme et le produit de x et j' étant donnés en fonction de :; parles deux premières équations, ces inconnues seront les racines de l'équation
\ u- — {a — z\u^bz^=o.
La somme de leurs carrés sera donc
et la troisième écjuation donnera
d'où
z = (i -h b ± \l ifib ■+- 2 b-.
De ces deux valeurs données par l'équation du second degré, une seule peut convenir à la question : car celle qui correspond au signe -|- du radical, étant ])lus grande que a -\- b, ne. peut être égale; à la hauteur du triangle. La valeur- iini(|iie d(; cette li;;iic est donc
x; = a -+- i — \/'2o6 -t- "xb-.
l'iepoiiiint celte expression dans l'équation en </, elle
CHAPIT!!!-; II. 33
devienl
( 3 ) u- ~ib ~ /•>. ah ^ -/.b^) Il -^- b--i- ab — b \/ ■i.ab — a i- = o ;
les deux racines de celte éqiuUioii seront les valeurs de a* et 1 .
Si au lieu de ; on ilierchait x ou r, on deMait craindre de tomber sur une équation de degré plus élevé, ne fùl-ce que par celle considération que, x et j' enlrant symélriqucnienl dans les équallons, le résultai de l'éllminalion de z cX y doit renfermer coiiinic solutions les valeurs der, aussi bien que celles de ^ ; et cV'sl ce qui ari'ive en ellct, car on parvient ainsi à
{ 4 ) x'> -\- 1 bx^ -r- 6- r- — '1 b- (a ~- b) X -^ b- i a^ — b-) = o,
équation dont la discussion offrirait quelque diffieullé, si l'on ne remarquait pas que son premier membre peut être décomposé en deux facteurs du second degré en x, qui, égalés à zéro, conduisent aux équations suivantes :
(5) x- -¥-{b -^^ lab -^ib-)x -^ b^-r- ab -^ bi/ nab — ib- = o, (G) X- -^{b — \/ lab — ib^) X -•- b"- -h nb — b •/ lab -+- -ib- = o.
La première donne deux valeurs négatives pour ./■, cl ne donne par conséquent aucun nombre satisfaisant aux équations obligées de la question : on doit donc la rejeter.
La seconde est donc la seule à considérer. Elle doit donner r e\.x, et coïncide en effet avec l'équation en ii tiou\(''e d'abord pour le même objet. La condition de réalité de ses racines s'exprime par l'inégaHlf''
a < 6 ( i -I- /^ ) • La valeur maximum de a, rjuand b est donné, esl donc
36 SCIENCE DE LÉTEJNDCE.
Si Ion donne a au-dessous, on a deux racines positives inégales. Si a est égal à celte limite, les deux racines sont égales et le triangle est isoscèle.
20. Remarque. — On peut se demander pourcpioi l'on a trouvé deux valeurs de z-, puisqu'il n'y en a qu'une quiconvienne; et de même pourquoi l'équation en .r est du quatrième degré, puisqu'il ii'v a que deux de ses racines qui conviennent.
Avant de chercher comment ces solutions étrangères se sont introduites, il faut voir si le problème numérique et le problème géométrique sont réciproques, c'est-à-dire si chacun des deux entraine l'autre comme conséquence. Or nous avons bien démontré que les équations (i) étaient des conséquences \des conditions géométriques, mais nous n'avons pas démontré la réciproque; et dan.s l'exposition générale des méthodes, nous avons montré que dans ce cas il pouvait y avoir des solutions étrangères.
Maintenant, pour reconnaître que les équations (i) n'entraînent pas effectivement les conditions du problème géométrique, et renferment par conséquent des solutions étrangères, ce qui ne serait pas facile à voir immédiatement, suivons-en les conséquences, c'est-à-dire les équations, que nous en avons successivement déduites. Or l'équation en 5, obtenue |(ar l'élimination do x eljK, est
(il — z )- — 7.b z = h-,
et quand ou il(''\ elo|)[)c le Carré de « — ^ on a les mêmes ternies que si l'on avait développé celui de - ^ — «, d'oii il suit que les résultats du calcul seront les mêmes que si la première des équations ( i ) avait été x -\-y = 2 — a au lieu d'être x -\-y = a — ;;. Et comme les systèmes d'équations qu'on substitue les uns aux autres sont réciproques, les équations (i) satisfont non seulement aux conditions géo-
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métriques du problème, mais oncore à celles d un autre problème de nomlires, qui peut même ne correspondre à aucun problème de Géométrie.
Il n'y avait donc pas réciprocité entre le problème i;éomélrique proposé et le problème de nombres qu'on lui a substitué. Si l'on avait substitué la seconde valeur de :; dans l'équation en //, on aurait eu, au lieu de l'équation.( 3), une autre équation qui n'aurait été autre que l'équation (5), puisque l'équation (4) doit donner toutes les valeurs de x qui conviennent aux équations ( i ). El c'est ce qu'on reconnaît immédiatement.
21. Par deux points donnes faire passer un cercle langent à un cercle donné.
Soient A et 13 {fig- j) les deux points doiin(''s. \) leur
