I-ie

milieu, C le centre du cercle donné, /• son ravon; CE, CF perpendiculaire et parallèle à AB. Posons

.\Tî = >«, Di: = i, CM-.^c.

Le centre O du cercle cherché sera sur la perpendiculaire élevée en D sur AB; désignons par x sa distance au point D, et soit H le point de contact.

Les deux cercles pouvant être tangents extérieurement ou intérieurement, on aura

CO = OB ± /• ou ^ [T — cf-^- b-= \f x-~- <i-± r. Elevant les deux membres au carré, il vient

6' -i- c' — 9. ex = a- -T- /•- — ■?.r \ x^ -f- a*.

38 SCIENCE DE l'étendue.

Isolant le radical et élevant au carré, on obtient, en posant /;- + c- — a- — /■- = 2 m-,

( 1 ) ( c- — /■- ) .r- — 2 m- ex -r- m'' — a- r- = o.

Et comme il ne reste aucune trace du double signe, les deux racines de cette équation se rapporteront aux deux cas possibles du contact.

Examinons maintenan.1 les changements qu'introduirait dans les calculs une disposition difTérente des points de la figure.

Si le centre inconnu O se trouvait au-dessous de F, le côté OF du triangle COF serait exprimé parc — x au lieu de ,r — c ; mais, après le développement du carré, les termes présenteraient la même forme, et il n'en résulterait aucun changement ofins les calculs. Mais si O devait se trouver d'un autre côté de la ligne AJB que C, le côté OF s'exprimerait par la soiume x -\- c nu lieu de la différence, et le calcul coiidiiir.ul. non plus à ri''(|ua(ion ( i ), mais à la suivante :

dont les deux racines soni, au signe près, les iiiéiiies que celles de l'équation ( i ).

La condition de réalité des racines de ces écpuitions est la même; elle es! exprimée par l'inégalité

(^)uant aux signes de ces racines, ils dépendeiil de ceux de /;/' — (1- /•- et de r- — /-.

Remarque. L'('(|ualioii (i) donnant la position du

centre O cjuand il est du iiiéiiie côté de AB cpie ( '., et l'équation (a), quand il est de l'autre côté; et de plus les racines de ces deux étpialions étant les mêmes au signe près, il s'en.suit ([iic si la prcinièie a ses deux racines négatives, ce fini ne r(''>oiit pas l,i qiiesl ion. puisqu'elles annoiicenl que

cnAi'iruE II. 39

los condilions ne sont remplies par aucun noniLre, la seciinde les aura positives et de même grandeur, rcspecti\ement; elles fourniront donc deux positions du côté de C, et qui seraient les mêmes que si les valeurs négatives de x données par(i) étaient portées en sens ct)nlraires de celui qu'on avait supposé quand on est parvenu à cette équation. Si les racines (i) soni l'une pusilixc, rauiic négative, la première construit un point du moine cùlé que V.\ la seconde ne résout pas la question, mais elle apprend que Vvf[uation (2) a une racine positive de même grandeur, qui indique de Fantre côté de ('. le eenlre d'un cercle satisfaisant à la question; et ce même (-entre sobtiendrait en portant la racine négative de (i) en sens contraire de celui qu'on avait supposé.

Concluons de laque l'équalion(i) suffira à tous les cas, à la condillonque les valeurs positives de x seront portées du même côté que C, et les valeurs négatives du côté opposé.

Cette conclusion n'est légitimi' qur par la eom|)araisoii que nous avons faite des racines des deux équations qui se rapportent aux deux cas, et non par l'analogie vague que l'on pourrait apercevoir entre l'opposition des signes et l'opposition des directions. (]etle comparaison poiniMil être beaucoup plus pénible dans des cas plus cunqilitpiés. Nous allons en donner d'autres exemples, qui suffiront avec celui-ci pour faire désirer des méthodes générales, qui permettent de renfermer dans un calcul unique toutes les variétés (ju'une même question géomélri(pii' peul présenter.

22. Par un point donne J dire jxisscr un cercle langent à deux cercles donnés.

Dans ce cas on n'aperçoit aucune droite sur laquelle doive se trouver le centre du cercle cherché, et il faudra deux quantités |)Our le déterminer, parexenq)le ses distances à deux droites connues.

4o SCIENCE DE L'ÉTE^D^JE.

Soient A et B {Jig. 6) les centres des deux cercles donnés; /', /•' leurs rayons; C le point donné, O le centre du cercle cherclié, et :; son ravon.

Si nous concinons la pcrpendlculaite OP sur AJ3, le point O sera déterminé par les longueurs OP, AP qui sont ses distances\ à la droite AB, et sa perpendiculaire À\ . Posons

AB = o, M' = X, OP=j-, AQ = x, CQ = S;

il s'agit de trouver deux étpiations entre les inconnues .r et >•. En supposant le cercle O extérieur aux deux autres, les conditions géométriques conduiront aux équations suivantes :

(,) Ao — z—^, no — /•'=^. r,0 = j,

i[iii, |i;i] I i'liniiii;ilion de s, conduisent aux diMi\ suivantes: