CH\P1TRE XV

Caustique par réflexion.

276. Soit F (^ig. 65) un point d'oit émanent des rayons de chaleur ou de lumière, qui x'iennent se réfléchir sur une

courbe donnée, de telle sorte que le rayon réfléchi Jasse avec la normale le même angle que le rayon incident : un demande la courbe à laquelle tous les rayons réfléchis sont tangents.

Celle courbe, en lous les poinls de laquelle il se l'ait une plus grande concenlralion de chaleur, ou de lumière, qu'aux aulres points du plan, se nomme caustique. Pouren 'l>'- terminer un point quelconque, il iaul considérer deux 'avons infininienl voisins F^I, FM', et chercher la limite lu point de rencontre F' des rayons réfléchis.

Les deux normales en M et M' à la courbe donnée se renconlrenl en iln point O, dont la limite est le centre de courbure en M; et le rayon de courbure R en ce point sera la limite de MO et de M'O. Posons

FM = a, F. MO - w = OMF', FM'O : cV = O.M'F'; il est facile de voir que Ton aura

F -r- lu — O -^ lo', F' - - (u' =: 0 — 10,

3'i6 ÉTUDE DES COURBES.

d'où, en ajoutant ces équations membre à membre, (:) F — F =20.

Nous allons maintenant substituer dans celte équation, à F, F', O des quantités, non pas égales, mais ayant avec ces angles des rapports dont la limite soit i; l'équation (i), dont on peut supposer qu'on ait divisé les deux membres par l'un des trois angles, ou par tout autre intiniment petit du même ordre, conduira ainsi à une équation exacte entre les limites des rapports. Abaissons MI, M' F perpendiculaires sur FM', F'M. Nous remplacerons

,, , „ . MI MM'sinAni'F

1 antrie r par son sinus — ou ;

,. , „, . M'I MM'sinAl'MF' 1 angle r par son sinus Yp-p, ou rn-p; ;

l'angle O par l'arc de cercle de ravon OM, terminé à la droite

M'O, divisé par MO, ou par ^^r-y Car l'arc de cercle peul

être remplacé par la perpendiculaire abaissée de M sur M'O, puisque leur rapporta pourlimite i, et cette perpendiculaire peut être remplacée par la corde MM' par la même raison.

Faisant la substitution de ces expressions à F, F', O qui ne seront altérés que de quantités infiniment petites par rapporta eux-mêmes, supprimant le facteur commun MM', et passant aux limites des rapports, nous aurons une équation exacte entre des quantités finies.

Soit S la limite de F', ou le point de la caustique; la limite de M'F' sera MS, que nous désignerons par z\ la limite de l'un et de l'autre des angles MM'F, M'MF' sera l'angle de FM avec la tangente en M, ou le complémenl de (jj.

CHAPITIIE XV. 337

La limiU' dr MO sera le ra\on de courbure II, et l'un arrivera ainsi à l'éi|uation

/s a n cosio

La valeur de ; étant connue, la position du point S de la caustique le sera, et la question rentre dans les problèmes ordinaires de lieux, géométriques.

277. Si le point F s'éloignait indéfiniment de la courbe réfléchissante, restant sur la même droite -MF, les rayons

incidents, à la limite, seraient parallèles entre eux; - de-

viendrait zéro, et l'équation (2) se réduirait à

1 7 H cost.i

z Kcuiw 2

Le point S de la caustique serait donc la projection fin milieu du rayon de courbure, sur le rayon réfléchi.

Si le rayon FM était normal à la courbe, on aurait cosu) = i, et Téqualion (a) deviendrait

Les deux points F et S se nonmient alors Jokers conjugues.

Si de plus les rayons incidents sont parallèles, on a ;; -- ' •

et le point ainsi déterminé se nomme le /oi r»/- principal . Dans les cours ordinaires de l'hvsiqiie, les expériences et le calcul se font en supposant que la courbe donnée soit un cercle.