CHAPITRE XVI

ligues qui auraii'nt pour expressions numériques les nombres que l'on se proposait de calculer; et pour connaître ces nombres il suffira de mesurer ces lignes au moyen de l'unité choisie.

Nous allons faire l'application de ces considérations générales à divers genres de questions.

DES l'RK>Ilt;UES OPÉIIATIONS SUR LES NOMBRES.

279. Unildilionet \d soaslraclioii de nombres connus ne peuvent élrc ramenées à des ])roccdés plus simples que ceux qu'indifpie rArlthmélique élémentaire; et Tinlervenlion de la Géométrie, non seulement introduirait les erreurs inévitables des mesures, mais augmenterait beaucoup le travail : c'est pourquoi nous passerons de suite à la multiplication.

J/ultiplicalio/i. — Soit jiroposé de former le pioduit de deux nombres connus a et A. Kn le désignant jiar .r, on aura la proportion

i-.'iy.O: j:

Clioisissant une longueur pour représenter l'unité et formant par suite les longueurs représentées par les nombres ■connus a et b, la ligne représentée par le nombre inconnu x sera ia quatrième proportionnelle à trois lignes connues, et se construira facilement : on la mesurera ensuite avec l'unité choisie et on connaîtra le nombre x, c'esl-à-dire le |)roduit demandé (tO.

Division. — Soit proposé; niaiiilunant de trouver le ipio lient de a par h. En le dé'signant par .r, on aura

.r étant encore la quatrième proportionnelle à trois nondjres connus, on procédera comme dans le cas pn'-cédrnt.

340 ÉTLDE DES COURBES.

El généralement si l'on a à (;alculer le résultat dopéralions quelconques indiquées par une expression rationnelle fractionnaire, dont le numérateur et le dénomiuateur seront polynômes, on commencera encore par remplacer les nombres par des lignes ; on rendra homogène les termes ajoutés, en introduisant des facteurs ou diviseurs égaux à l'unité et de telle sorte que le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur. Cela fait, on procédera comme nous l'avons indiqué précédemment pour la construction des lignes dont l'expression est rationnelle. Mais comme, dans le cas actuel, c'est un nombre que l'on cherche et non une ligne, quand celte dernière aura été construite on la réduira en nombre au moyen de l'unité choisie; et le résultat demandé des opérations numériques indiquées se trouvera déterminé.

Extraclio7i de la racine carre. — Pour eN.traire par le moyen des constructions la racine carrée d'une expression rationnelle, on commencera par ramener cette expression à un monôme, par les procédés que nous venons de rappeler; puis, par des facteurs égaux à l'unité, on fera en sorte que ce monôme ait deux facteurs linéaires de plus au numérateur qu'au dénominateur. On pourra alors réduire l'expression à la forme

La désignant par J', on aura

x- — ab, ou a :.r :: .t; h.

La ligne représentée par x est donc moyenne proportionnelle entre les lignes « et b, et se construira facilement. Sa mesure au moyen de l'unité choisie fera connaître le résultat des opérations numériques indiquées. Et l'on voit ([ue l'on pourrait, par l'application successivedece procédé, calculer les racines de degré 2'".