CHAPITRE XVI

On aura do celle manière la conslruction des racines réelles de toute équation du second degré, dont les coefficients seront des nombres connus; car leur expression ne renfermera que la racine carrée d'un nombre connu.

Si le degré de la racine à extraire n'était pas une puissance de 2, les procédés que nous venons d'indiquer ne pourraient s'appliquer. La question rentrerait dans une plus générale, dont nous allons nous occuper et qui consiste à obtenir par des constructions les racines réelles d'équations de degré quelconque dont les coefficients sont des nombres connus.

COXSTRICTIO.N DES RACINES RÉELLES DES ÉQIATIOXS.

280. Lorsque l'on a les équations de deux lieux géomé- Iriques, on obtient les coordonnées de leurs points communs en cberchant les solutions communes réelles de ces deux équations.

Mais si l'on ne demande que les abscisses de ces points, il ne suffira pas d'éliminer y entre les deux équations et de chercher les racines réelles de l'équation finale en x, même lorsqu'on se serait assuré qu'on n'a supprimé aucune solution et qu'on n'en a pas introduit d'étrangères. Il faudra encore qu'à ces valeurs réelles de x correspondent des va- , leurs réelles de r; sans quoi elles ne construiraient aucun point, et par conséquent ne fourniraient jjas de points communs aux deux courbes.

Kéciproquement, lorsqu'on voudra connaître les racines ■ 'Iles d'une équation à une inconnue F(x)=o,

on pourra former deux équations en .r elj telles, que le résultat de Téliminalion de j' entre elles soit F(x)~- o, dans laquelle nous supposerons qu'il ne manque aucune soin-

tion du système, et qu'il n'y en ait aucune étrangère (ces cii'constances doivent toujours être l'oljjet d'une discussion). On construira ensuite les lieux représentés par chacune de ces équations; on cherchera leurs points d'intersection; on évahiera au moyen de l'unité choisie les abscisses de ces points, et les nombres ainsi obtenus seroni des racines réelles de l'équation F(.r)=^ o.

Mais il est de la plus grande importance de remarquer qu'il n'est pas sûr que les nombres ainsi obtenus, et qui sont bien des racines de l'équation proposée, soient les seuls ; parce que, commenous l'avons fait remarquer toutà l'heure, les racines réelles de cette équation finale pourraient bien correspondre à des valeurs imaginaires de j\ et dans ce cas les points de rencontre des deux courbes ne pourraient les faire connaîlre.

2<SJ . Il est facile de donner des exemples où cette dernière circonstance se rencontre.

Soit en ellcl

l'équation pro])Osée. et

une équation choisie arbitrairement. Joignons-y la suivante, dans lacpiçlle A désigne une constante quelconque,

^'^ I 'f(-'-,.fl AF(,r)^-- o.

Cela posé, pour (jue les équations (2), (.'>") aient lieu en même temps, il faut ([lie l'on aitF(j?)^<>; cl, rccipvo(|ucmenl, si l'on prend une racine quelconque de cette dernière et qu'on la porte dans (2), les valeurs der (|u'on en lircra. conjointement avec la valeur de .r, formeront des solutions des équations (9), (3). Donc d'abord l'équation F(.r) : o