CHAPITRE XVI

donne toutes les valeurs de x i\\i\ conviennent au svstèmc (2), (3) et n'en renferme pas d'étrangères.

On peut former ainsi une infinité de svslt'.'ines de deux équations dont les solutions communes eorrespdiidi'iit à toutes les racines de l'équation (1) et à anciine aiilre. Va bien d'autres formes d'é(|uations pnurraicnl satislane à ces conditions.

Or on peut prendre récjuation arbitraire (•.< ) telle, que, pour certaines racines réelles de (i), elle donne des valeurs imaginaires pour )'. Il suffirait en effet que la courbe qu'elle représenterait n'eût aucun point dans la partie du |daii comprise entre deux parallèles .à l'axe des j-, correspondant à deux valeurs de .r entre lesquelles se Irouveraicul les racines en question.

Si, par exemple, on avait

V{j) — i.x — i)yx "iMr - 4)-

et qu'on prît pour (2) l'équation d'un cercle situé tout ei>lier au delà de la |)arallèle à l'axe des r. dont la distance à l'origine serait plus grande que (4), les deux ('ourbes avant pour équations

'i(x,y)=o et o{jr,y) {j- — j)(.c—'i)(T — 4>=o

ne se couperaient pas, et cependant, en éliminant -> entre leurs équations, on obtiendrait l'équation proposée

(j- — I II ^ - 'i)ix — i ) ^ o, dont les trois racines sont réelles.

282. Remarque. — D'après les observations précédentes, on voit qu'il serait avantageux de prendre pour l'un des lieux par le moven desquels on veut construire les racines réelles d'une équation une courbe rpii s'étendit indé'finimcnt dans le sens des x, sans auctiiic discontiiuillé. ei donl

344 ÉTLDE DES COURBES.

léqualion, pour aucune valeur de x. ne donne des valeurs imaginaires de )•. Prenons pour exemple l'équalion

(i) tang.r — o.r — o,

et pour équation du |)remier lieu

( 2 ) y — ax =^ o,

qui représente une ligne droite, qui s étend indéfiniment du côté des x positifs et négatifs, et n'oftVe aucune discontinuité.

Prenons maintenant pour premier membre de la seconde équation celui de l'équation (2), din>inué de celui de l'équation (1 1; le terme a .r disparaîtra, et Ion aura

(3) r — t.'iii-./- - o.

Les solutions communes aux équations (2), (3) seront les racines de l'équation (i); et les valeurs Aq y correspondantes aux racines réelles de (i) étant tirées de (2) seront nécessairement réelles et uniques. Elles correspondront donc à des points de rencontre des deux lieux ; et, par conséquent, leur intersection fera connaître toutes les racines réelles de la proposée.

CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ.

283. 11 suffira de considérer l'équation du quatrième degré, puistprellc renferme celle du troisième; et la manière la plus simple d'y faire rentrer cette dernière consiste à multiplier ses deux momljres par x\ on mlrodiiit ainsi la racine zéro, dont on ne tiendra aucun compte.

Occupons-nous donc de l'équation du quatrième degré, dont les racines peuvent se construire au moyen de courbes 1res simples. On pourra, dans tous les cas, en faisant dis-