CHAPITRE XVI

paraître le second terme, lui donner la forme suivante :

(1) j-^ pj:-— qjr - r — o.

Si nous posons

(2) X'- = Aj,;

et que nous combinions cette équation avec la proposée,

nous trouverons

/,-r- pky qr - - r,

"11, en divisant par A-,

pr qx r

et il est évident que cette dernière reproduirait (1) si l'on remettait x- au lieu'de ky, puisque c'est en remplaçant .rpar )' qu'on a eu (3). Le résultat de l'élimination de )• entre (2) et (3) est donc la proposée: et il n'y a ni solutions étrangères, ni solutions perdues. On voit de plus que toutes les solutions réelles de (1) portées dans (2) donneront chacune une valeur réelle et unique' pour j', d'où résultera un point d'intersection des deux lieux (•.»,), (3). La recherche des racines réelles de l'équation (i) est donc entièrement ramenée à celle des abscisses des points de rencontre de ces lieux.

L'équation (^2) représente une parabole dont le soinmel est à l'origine, qui a pour axe l'axe des r jiositifs el /. pour paramètre.

L'équation (3) en représente une autre dont l'axe est parallèle à l'axe des x\ les coordonnées de son sommet ont pour valeurs

Le sens de l'axe est celui des x positifs si q est négatif, cl

3^6 ÉTtJUE DES COURBES.

des X négatifs si q est positif : son paramètre est la valeur

absolue de -jp ■

INIais cette seconde parabole peut être remplacée par un cercle; ce qui conduira à une construction plus facile. En effet, si Ton ajoute les équations (2) et (3), celle que l'on obtiendra pourra remplacer identiquement la dernière; et l'on trouvera ainsi la suivante :

équation d'un cercle qui, par son intersection avec la parabole (2), fera connaître toutes les racines réelles de la proposée (i).

Cest ainsi que l'on construira les problèmes célèbres de la duplication du cube, delà trisection de l'angle, des deux moyennes proportionnelles, etc. D'autres constructions pourraient encore v être appliquées.

On simplifiera l'équation (i) en choisissant l'indéterminée A' dé manière que l'on ait'^ — k =^ o ou k = \/p\

mais cela ne sera possible que si p est positif. Dans ce cas, l'équation (4) se réduit à

Le centre du cercle sera sur l'axe des .r et aura pour

> abscisse ^- ■ La valeur du rayon sera —^ i^ , et

serait imaginaire si l'on avait rj- — 4p''<C°j mais alors l'équation proposée n'aurait pas de racine réelle; car, ^après les conditions />>o, q- — 4p''<.o-< P^' -\- qx -\- r serait positif pour toute valeur réelle de .r, et le premier membre de (i) ne pourrait être nul pour aucune valeur réelle de x.