CHAPITRE XVr

!28 i. Forme particulière des etf nations des deux lieux. — Lcquation proposée élanl

(Il F(.?i <>.

ilcstsouvcnl avantageux de prendre pour les é(|ualions des deux lieux

La première construit une coui-be dont les jjoints d'intersection avec l'axe des x ont pour abscisses les racines réelles de la proposée.

En nous bornant au cas où l'on a

F(ar)— \t"' - AiX'"''- AiX"'-- ... A„,,

la courbe (•>.) s'étend d'une manière continue depuis ar rrrr — oc jusqu'à xt^ oc ; et à chaque aljscisse il ne correspond qu'une seule ordonnée.

La considération de cette courbe a conduit I\)urier à des procédés très ingénieuxpour la séparation ou l'approximation des racines réelles. On pourrait sans doute se pa^^ser de ces secours de la Géométrie, mais ils font souvent décou^Tir, à la seule inspection de la (igure, des rapports qu'on aurait difficilement aperçus en restant dans l'ai)*traction pure.

Ainsi, par exemple, la simple \ue de la courbe (2) niontra.nt qu'entre deux points consécutifs de rencontre avec l'axe des x l'ordonnée part de zéro pour revenir d'une manière continue à zéro, on cfinelut facilement qu'elle passe par une valeur absolue jilus grande que toutes les autres ; que, parconséquent, si on mène une par.illèleà l'axe des jr par rexlrémilédecctte ordonnée, la partiedelacoiirbe que l'on considère est tout entière conq)risc entre l'axr des X cl celte parallèle, qui. par conséquent, lui est tangente. On conclu! de là qu'en ce poini ou a V'ix) = o.

348 itTLDE DES COUr.BES.

puisque F'(.r) osl la tangenle trioonomélriqiie de l'inclinaison de la langenle. Or cette conséquence n'est autre chose que le théorème de RoUe, qui s'énonce ainsi :

Entre deux racines réelles consécutives d'une éijuation, il y- a toujours une racine réelle de sa dérivée. — • Je n'entrerai pas dans plus de détails à ce sujet, et je me Lornerai à recommander l'étude des ouvrages spéciaux, surtout de ceux de Fourier.

283. Démontrons maintenant un théorème général, dont les applications sont innombrables, et qui peut s'énoncer ainsi :

Soil F (./' ) une fonction quelconque, continue entre x=fi et X = b, b étant la plus grande des deux limites. Si l'on partage l'intervalle b — a en subdivisions h, qui décroissent indéfiniment suivant une loi quelconque, puis que l'on multiplie chacune des valeurs de F{x) correspondantes par la subdivision qui la précède ou par celle qui la suit :

1° La somme de ces produits, ou, d'après une notation

déjà employée, > F(.r)/i, tend vers une limite unique,

([uelle que soil la loi des subdivisions.

2" Cette limite, considérée comme fonction de h, a pour dérivée F (6); et considérée comme fonction de n, elle a pour dérivée — F(a).

La vérité de ces diverses jivopositions s'aperçoit immédiatement en considérant la courbe qui a pour équation

et qui est continue entre les abscisses a clb.

En effet, les produits indéfiniment décroissants dont il s'agit seront la mesure de rectangles ayant pour bases les subdivisions de i^ — a, et pour hauteurs les ordonnées

CHAl'lTRK XVI. 349

correspondantes de la coiirl)L'. Oi- nous a\ons (h'moiilic dans la Géométrie que la somme do ces produits a pour limite l'aire comprise entre l'axe des x, les ordonnées extrêmes et l'arc de la courbe, quelle que soll la loi des subdivisions de b — a, pourvu qu'elles décroissent toutes indéfiniment. La première partir du tliéorème est donc démontrée.

Si maintenant on considère la plus petite limite a comme constante, et b comme variable, et qu'on fasse croître h d'une quantité infiniment petite /i, l'accroissement de Taire sera compris entre deux rectangles dont le rapport a pour limite 1 ; la limite du ra|)port de l'accroissement de l'aire à h est donc la même que de l'un quelconque de ces rectangles à h: elle est donc !"(/>), comme il fallait le démontrer.

Enfin, si l'on regarde b connue constant l't ^/ comme variable, l'accroissenienl de Taire sera négatif, et par les mêmes raisonnements on trouvera — F(rt) poiu' limite du rapport de l'accroissenienl de Taire à celui de a : ce qui démontre la dernière partie du tliéorème.

286. -//>/>liciUioii de 1(1 Gconic/rie à la dèlcrmiiiation de lu liniile de la somme

Celle limite 1res importante peut être obiciiiic par des considéralions purement algébriques ; mais la ( Jéométric en facilite beaucoup la recbcrche.

Nous ne la considérerons pas comme mesurant Taire de la courbe dont Téqualiou sérail

mais comme servant à mesurer le volume compris entre

35o ÉTCDE DES COUHBES.

le plan des x et )' et la surface de révolution ayant pour équation

On remar(|uora pour cela que, si Ion conçoit les limites des deux sommes identiques

et qu'on les multiplie, on aura la limite du produit de ces deux sommes. Or les produits des éléments qui les composent mesui'ent des parallélépipèdes qui peuvent être considérés comme les éléments du volume indéfini dans tous les sens, qui est compris entre le plan YX et la surface ayant pour équation

Le produit des limites des deux sommes, ou le carré de la quantité cherchée, est donc la mesure de ce volume, et, par conséquent, c'est à cette dernière recherche que la question est ramen('e.

Or la forme de la surface qui le termine permet une décoinpositionplus commode que la première; et c'est en cela (]ue consistera l'avantage que procurera la Géométrie.

Le plus ordinairement on décompose le solide de révolulion qu'on veut mesurer par des plans infiniment voisins, perpendiculaires à son axe ; mais on peut aussi le décomposer par des surfaces cylindriques infiniment voisines, ayant même axe de révolution que le solide; et c'est ce dernier mode qui sera le plus avantageux dans la question actuelle.

En effet, si l'on désigne par /■ et /• + h les rayons de deux de ces surfaces, le volume conqjris entre elles aura pour mesure i-^zrhe^''^, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à celle-ci.