CHAPITRE XVI. 35 l

Or, si Ton pose / - = //, on observera que, quand r croit de A, l'accroissement de /- ou dr // est ^.rli, en néglificanl une quantité inlinimeiil pclile relativement à lui. Prenant donc iik pour raccroissement que prend u, quand on passe d'une surface cylindricjue à la suivante, et le désii;nanl par k, on pourra regardei- le volume cherché comme la limite de la somme

la th-rnière variable u |)artatit de zéro et croissant indéfiniment.

Mais on sait (pic la limile do \ <?""/>• est l'unité; le volume a donc pour mesure -. Or celte mesure est le carré (h^ la fpianlité cherchée : celte dernière est donc égale

Et il est évident que, si l'on demandait la h mile de la somme en faisant passer x de zéro à l'inlini, au lieu de le prendre de -^30 à -H oo , on aurait un résultat moitié moindre,

2<S7. Autre application. Considérons la limile de la somme

(C désignant une quantité indépendante d(; x\ li la dilférence de deux valeurs consécutives de .r; x» et X les limites entre lesquelles x varie; et F(.r, a) une foncliou continue arbitraire de x et de la constante a.

La limite de l'expression (i) dépend de a et des limites x„ et X, mais la variable désignée par x n'y entre évidcmmcnl

plus. Oiiunl aux limites x^ et X, elles peuvent dépendre de a, ou en être indépendantes.

Cela posé, la limite de (i) peut être considérée comme une fonction de a que nous désignerons pary(«); et l'on peut se proposer de trouver sa dérivée par rapport à a. considéré comme variable, et regardant comme constantes toutes les autres quantités qu'elle renferme et qui ne dépendent pas de a.

Il faudra pour cela supposer que a croisse de A\ chercher l'accroissement correspondant de f{a), puis la limite de son rapport à k. Nous commencerons par examiner le cas où X'o et X ne dépendent pas de a, et en second lieu le cas où elles en sont des fonctions quelconques.

i" Les quantités .r^, X sont des constantes données; cl y(«) peut être considérée comme l'aire comprise entre lu courbe, dont l'équation serait

l'axe des x et les ordonnées correspondant aux abscisses J"u, X.

Soit {fig. 66) x„=AB, X^ÂC; /(«) sera l'air.-

BMMC. Supposons maintenant qu'on donne à a un accroissement déterminé A, y (a -|- A" ) sera l'aire comprise entre les mêmes ordonnées indéfinies, la même base Ij(J, et

CHVPITRE \VI. 353

une nouvelle courbe dont l'équalion serait v = F(j-. a -^ A).

«ni celle aire 15/// «/(L

La difl'érence .M //(///'.M' de ces deux aires sera l'accrois-

^emenl de/(n); el la dérivée cherchée sera la limite du

rypijorl

M mm' M'

Evaluons maintenant l'aire M //////'. M' pour une valeur déterminée quelconque de /,•. Eu la décomposant par une suile d'ordonnées infiniment voisines, on pourra la considérer comme la limite d'une somme de rectanj^les ayant pour bases les subdivisions PQ de BC, et pour hauteurs les différences RS des ordonnées correspondantes ou l-"(x, a -r /«■) — F(j:,rt). Ces rectangles auront pour expression générale, en désignant PQ par a,

Mai-;, d'après la formule donnée précédemment pour l'expression de l'accroissement d'une fonction d'une quantité *■/, à laquelle on donne un accroissement k, nous aurons, en désignant par Via) la dérivée de F(x, a) par rapport à ti .

' ) étant une quantité qui tendrait vers zéro avec A". L'expression générale des rectangles RS sera donc Ai\V'{a )-r- lo], i-i l'aire M//('//'M' sera la limite de leur somme

/ V 2|l--,„i — oij:

scin rapport à /■' sera dune la linnli' de

Dm. - Met II. III. 23

3^4 ÉTl'DE DES COUIiBES.

Si niainlenant on suppose que k tende vers zéro, il en sera de même de w, et, d'après le principe fondamental des infiniment [)etils, on n'altérera pas cette limite en supprimant 7.(0 qui est infiniment petit par rapport à aF'(r/).

u on il suit ([ue la limite du rapport j ' ou la dérivée par rapport à (/ de la limite de

On obtient donc la dérivée par rapport à a de la limite

de la somme en substituant à la fonction sous le signe 7

sa dérivée par rapport à a, et faisant la sommation entre les mêmes limite?.

2" Supposons maintenant que les limites x^,, X dépendent de rt, et que l'on ait

JTO = '■!>(«}, \ = '\l {a),

» et 'l désignant des fonctions données.

Soit BMM'C {/ig- 67) la limite que nous avons drsigiKc

[)dv/[a). Lors([iic (/ \uriera de /. , l'ordonnée F( ', ") de-

cHAi-rriiE \\i. 355

vieillira

iiKiis les llmili's ./■„ i-l \ variiTOiil fll('>-iiii'ints. «l la Idiicùan/iti -r- /. ) sera rc|iiosciiU'M' par Pairo

1!!)' et ce élaiit respeclivcnient Irs accroissenicnls de ./•„ ft X quand on v ciiaiis^o a en a + /.■.

I,a dérivée de la l'oncùon /(fi), par rapport à <-/, sera «lune la limite du rapport

|{' m Hi'C— B M M' C I ) /// //(■ ( ;' ( : \l'— B \I DB' 1 '■" 1

-Mais, sans changer la limite de ce rapport, ou peut ajouter ou retrancher au numérateur des quantités intinimeiit petites par rapport à k. Si donc nous prolongeons les ortlonnées B.M, CM' jusqu"à la rencontre de la seconde courbe en 'X, 'x' , nous pourrons ajouter l'aire M'jiwiD: et si .M" est le point de rencontre de //l'C avec la première courhc .MM' prolongée, nous pourrons ajouter l'aire M'|ji.'///M '. I.idernier rapport se trouvera ainsi remplacé par

M.x'jiM' ^CM'M'C— BMDB'

et sa limite sera la dérivée cherchée.

Or elle peut se décomposer en trois autres. I.a première,

Il Ml '-' ,

n'est autre chose que celle que liiii ohliendrait en supposant qu'on ne Ht pas \arii-r /, . \. il .|ii(> nous venons de calculer.