AO — /• = BO — /■', AO — /• = CO
La figure donne immédiatement pour AO, B(J, VA) les expressions suivantes :
AO = /:^rzyi, BO = \/y'--^{a — x)^, OC = /(S-j^^'-f-Ca-a-)-^
niiiis pour une nuire disposition des points la lornie des expressions serait différente. Si par cxiruplc le point 1* tombait à gauche de A, BP serait exprimé jinr <i ~~ x \\u
CHAl'lTRE II. 4'
lieu de rt — ar, et rcvpression de BO serait changée, même après le développement du carré. Si O n'est pas du même côté de AY que C, l'expression de OC changera, et (a — x)- V sera remplacé par (a -+- x)-, qui est de forme dillerenle. De même {S — x)' ocrait remplacé par (6 -i-J')- si O et C étaient de côtés différents de AB; et les deux changements devraient être faits à la fois, si O et C étaient de côtés différents de chacun des deux axes sur lesquels on porte les distances x,y. On voit donc combien de combinaisons différentes peuvent donner les diverses positions possibles du point inconnu; et l'on conçoit combien il serait utile de trouver lemoven de renfermer tous les calculs auxquels elles peuvent donner lieu, dans un seul d'où ils pourraient tous être déduits.
Mais il V a encore d'autres formes à considérer dans le calcul, d'après la manière dont le cercle cherché doit toucher les deux autres. Le contact a\ec chacun d'eux peut avoir lieu extérieurement ou inli'riciiri'incnl . ci' qui iluruii' gém'ralement quatre combinaisons; et il laiiL nconnaîlre les changements qui en résulteront dans les équations.
Si le cercle cherché renferme les deux autres, les équations (>) se changent dans celles-ci :
( >. > AO -h /• = z, BO -^ /•' = z, CO = ;.
Si l'un des cercles donnés est extérieur, et l'autre intérieur au cercle cherché, les équations dc\ienncnt (J) AO-T-/=-, BO — r'^-^;, CO = z,
ou ( i ; AO — r = 5, BO -»-/•' = z, CO = z.
Tels sont tous les cas qu'il faut considérer si l'on veul la ■■oliition complète du problème, sans com])ler les variétés qui résulteraient de la |)ositif)n relalixi! des deux cercles, qui peuvent être totalement ou parliellrnicr]! iiiii rirurs lun à l'autre.
42 SCIENCE DE L'ÉTENnUE.
23. Indiquons maintenant le calcul dans rii\polhèse des équations ( i ) et des expressions qnc nous avons prises pour AO, BO, CO. Nous aurons d'abord les équations
La seconde donne, en élevant ses deux membres au carré,
'J-oy -h l'xx -t- r- — a- — o- = 2/' \/x~ -\- y- ;
la première donne, en faisant passer ;•' dans le premier membre et élevant au carré.
( j) la.r -h ( ?• — ?■')'- — a- = xir — /■') y/x- -i- i'-;
d"où, en t''liminant ^ x--r-r- entre ces deux équations
/ o (■/■ — ''' )r -T- (oc/- — a /•' — ai-)x
Celle équation, jointe à l'équation (5), donnera x et r. l^'éliminalion de y conduira à une équation du second degré en x. A chacune de ses racines correspondra une seule valeur de j' que donnera l'équation (6), et l'on n'aura que deux systèmes de valeurs de x, y. Si ces valeurs sont réelles et positives, les coiulitions exprimées nerenlerment aucune impossibilité.
Voyons maintenant à quoi correspondent ces deux systèmes. Ronarquons pour cela que, si nous avions pris les équations (a) au Uni dc(i), tous les calculs n'auraient différé fies premiers que par le changement de signe de r et /■'. ]j'é([nation (6) aurait donc été obtenue, ainsi que l'équation (5), après son élévation au carré, et Ion aurait retrouvé les deux mêmes systèmes de valeurs de ar et ^ : d'iiù il -^uit nue l'un des deux currcsnond rui cas où le cercle
