CHAPITRE XVII

LNTUODUCTIUN DES QUANTITÉS IMAGINAIRES DANS LES FORMULES TRIGONOM ÉTRIQUÉS.

280. \oiis avons vu prrct'-dcninienl comment s'élaiont jiréseniées d'abord les expressions imaginaires comme solutions d'équalions, de quelle manière elles y salisfaisaient, et comment elles pouvaient servir à la généralisalion des théorèmes relatifs aux racines des équations et à la décomposition des polynômes en facteurs. Nous allons voir maintenant quels avantages ces expressions peuvent iilfrir dans des transformations dépendant des lignes trigonométriques.

290. Si l'on fait le produit de deux expressions de la l'orme cosrt ■+■ \f-—i s'ina el cos/> -f- y' — i sin^. a et /> désignant des arcs quelconques positifs ou négatifs, et les opérations sur y' — i s'effecluanl comme nous savons, on trouve pour résultat

coâacos/> — sin«5ini -- \/ — i ( sina cosb-h s'inb cosa),

dont la partie réelle est cos( // -+- l/), et la partie imaginaire y' — I sin(« -)- b).

On peut donc écrire la formide générale

(,C()S«-i- V — I sinrt j( rosi H- y/ — l sini) = ros( a -~ b)-- f/ — I sin i a -^ b ),

puisque nous venons de reconnaître que les parties réelles des deux membres étaient identiques, ainsi que les parties

3j8 et IDE DKS COURBES.

imaginaires; et nous n'aurions pas pu Técrire sans cela, [luisque nous avons posé en principe qu'on n'écrivait jamais une équation A -f- By — i = A' -t- B' \J — i qu'après avoir reconnu qu'on avail A = A' et B = B'.

Si mainlenanl on multiplie le produit obtenu par un troisième facteur semblable cosc + \'' — i sine, on aura pour produit une expression de même forme, dans laquelle l'arc sera la somme des deux ares a -i- b et c, de sorte que l'on peut écrire cette nou\elle formule

(cosn — / — I siiifl) (cosl/ -r y/ — i sini) (cosc-f- / — i sine) = rosi ti — // — c ) -^ V — ' si" ' « — ^ -^ c 1.

parce qu'il est démontré d'avance que la partie réelle est la même que dans les deux membres, ainsi que la partie imaginaire. Et il est indifférent. de quelle manière on effectuera le jiroduil des facteurs binômes du premier membre, fl qu'on réduise les termes réels en cos{a-hb) ou qu'on lis laisse tels que la multiplication les donne, c'esl-à-dire sous la forme cosrtCOs/> — sinr^sini; et de même pour les termes imaginaires. Le nombre des facteurs y' — i qui entreront dans les termes du produit définitif sera toujours le même; ces termes seront donc les mêmes : il pourra seulement V avoir avantage à les grouper d'une certaine manière, qui permettra des réductions ou transformations propres à donner ime forme plus simple au résultat.

En reproduisant des calculs analogues sur un nombre quelconque de binômes de même forme, on obtiendra la roiiiiulc suivante, dans laquelle il est démontré d'avance i|ni'. ilr quilque manière qu'on effectue les multiplications, les parties réelles sont les mêmes, ainsi que les parties imaginaires,

\ {cosa-^\/^s\nfi){i:osb-:- \/— i>iiub)...{coip -+- y/^ sin/^j

/ =ro5(o -~ b-i- ... — /)| /— I sin(n -f- 6 -i- . .. -+-/>)•