CHAPITRE XVII

El il est inutile de considérer à part les expressions de la lorme cos« — ^/ — i sin^. puisqu'elles sont comprises dans 'es premières, en les écrivant ainsi :

cos ( — « ) -^ ^ — I si n ( — a 1. et comme l'équation (1) donnera

I -^ / — I sina)[cos' — a ) — v' — ' »'" ( — f*)] = coso -r- ^ — 1 sino = l, il s'ensuil

cosrt — \ — I «in (7 :

s« — \ — I siiia

291. Tout cela est évident et incontestable; mais on peut se demander à [quoi peuvent servir ces fictions de calculs qui ne semblent qu'un amusement bizarre, qui n'offre de remarquable que la simplicité du résultat comparée à la multitude des matériaux qu'il a fallu combiner. !S"v a-t-il autre cbose que dans ces jeux d'enfants où, avec un grand nombre de pièces de toutes formes, on parvient à construire des figures qui surprennent par leur élégance et leur régularité ? A ces questions, qu"il semble naturel de s'adresser, il faut une réponse nette et précise.

L'avantage que l'on peut retirer de la formule (i) con siste en ce qu'elle fait connaître le développement du cosinus et du sinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs positifs ou négatifs par la multiplication d'un égal nombre de binômes. Or un produit de ce genre est soumis :'i des lois simples qui permettent de le former plus facilement que les développements du sinus et du cosinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs. Ainsi, en désignant par m le nombre de ces arcs, le groupe général du ]iroduil s'obtiendra en faisant toutes les combinaisons n an (les seconds termes des binômes, et multipliant cbacunc

36o ÉTUDE DKS COURBES.

d'elles par les m — n premiers termes des autres binômes. I^e calcul des termes est donc ramené d'une manière régulière à la simple théorie des combinaisons. Ceux qui renfermeront un nombre pair des seconds termes seront réels et constitueront le développement décos ((^7 -I- ^ -f- c4-... +/j) ; le coefficient tle ^/ — i, dans les autres, constituera celui de sin(n + ^ -l- c-H . . . +/')• Tel est donc l'avantage de la remarque quia conduit à la formule (i), et qui pouvait paraître d'abord tout à fait dénuée d'intérêt scientifique. Elle conduit à deux formes différentes d'une même (bose, et la transformation i[u'elle fournit est d'une notable utilité.

l'our rendre cette utilité bien évidente, ap|)liquons la formule (i) an cas très particulier où tous les arcs (( , b. c, . . . , p seraient égaux ; elle devient alors

(21 (cos« -r- y/-- I sinrt)"'= cos/«o-+-/ — i sin/H«.

Or, dans le cas de binômes égaux, le produit s'exprime par une liurnulc très simple, et le terme gén(''ral sera

On aura donc, en égalant la pallie réelle à cosiiia et le coefficient dey' — i à fi\n/t/ii.

vos ma = (.-(is'" Cl