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nu ni — iK/;? — ?.) . ,

■/( cds'" icfsinrt '■ cos"' ■'«sin''«-H...,

formules auxquelles on pourrait parvenir |)ar des piocédés diflerenls, mais moins simples.

(HAi'iTUE xvii. ' obi

Le dernier lerme de chacun de ces développements varie suivant que m e>t pair ou impair: nous laissons do côté ces détails.

On voit avec quelle lacililé les lorniules i;rnOrales des sinus et cosinus des multiples d'un arc se déduisent d'une remarque qui pouvait sembler puérile, mais dont 1 ellel a t'ié de présenter une même chose sous deux formes très différentes. Or la transConnalion des expressions est une des plus grandes ressources de l'Analvse.

'l\)''l. La rormule(2) n'est encore démontrée que pour m entier et positif. L'avantage que nous en avons déjà tiré doit faire penser qu'on en trouverait d'autres encore si l'on pouvait la généraliser.

Or on reconnaît immédiatement (pie, pnisqu'en mullipliant l'arc par un nombre entier on élève cosrt^ — i sin/^/ à la puissance m; si l'on divisait a par un entier /;, l'ex-

pression cos — hv — i sni - serait une racine «"'""■ de ' « ' /i

cos«-T-\ — isinf^. Car la formule (a), s'a)ipliquanl à tous les arcs, s'applique à - > et par conséquent la puissance

/( de cos - -4- V — 1 sin - est cosrt -4- i — ' sin/v. n ' n '

Maintenant la puissance p de cette racine n'^'"' s'obtiendra en multipliant lare - par//; donc la puissance/) d'une

lacine /('*"" de cos«"-i-i — isin// nu une puissance — de ' ' n

ce bini^mc s'ol)ticnl en iiiiilllplianl l'arc '/ par ' . La foi- ' ' /)

mule (i) a donc lieu |ii>iir luiiles les \aleurs positives

de m.

Llle a encore lieu si m est négatif. Car soit m = — n,

n étant pnsilil. Kn entendant toujours les exposants néga-

-iba ÉTTJDE DES COURBES.

lils comme ])récéclemmfiU, on aura

(cosfl -f- /— Tsino)'"

(cosa+y' — isina)" cosna-n/ — isinwa = cos na — / — I sinna = cos( — na )-i- y/ — i sin( — na) = cosma-h^ — isinm«, ce cjui jjrouve que la formule (2) est vraie pour tous les nombres négatifs, et par conséquent pour toutes les valeurs réelles de ih.

Celle iuqtorlanle formule, dont nous allons faire quelques applications, a été découverte par Moivre, et le nom de ce célèbre géomètre v est resté atlacbé. Elle abaisse d'un degré les opérations de multiplication, division, élévation aux ])uissances et extraction de racines sur les expressions de la forme cosft + ^ — isinr/; propriétés analogues à celles des exponentielles.

293. ^'Jpplication des mentes forimtlcs au dés'eloppenient de cos"'.r et de sin"'.r.

La fjuestion que nous nous proposons est de développer une puissance entière et positive du sinus et du cosinus d'un arc quelconque, au moyen des premières puissances (les sinus et cosinus des multiples de cet arc.

Occupons-nous d'abord du cosinus.

L'artifice qui conduit le plus simplement à l'expression cherchée consiste à remplacer cos.y par la demi-somme (les binômes cosj'-l-^' — isin.r et rosj" — \/ — isln.r, ou, ce qui est la même chose, de remplacer 2cos./- jiar

( 1 I (cns.r-; / — I sin^)-i-( C0S3- — /— i sir. .r),

<pi] M c^i :iiilre chose que ( ï 1 ■' ( ns.r H- / — 1 (sin.7- — sitir ).

c'esl-à-dirc iilciilKiuoiiienl acos.z'.

CIIAI'ITKE \\ II. 3(i.)

^ ovons niainlnnanl les avantages que ])oiil (idVir Vc\prcssion (i) jkhii- l'objet que nous avons on Mic, (|ijl esl travoir la puissance /»'^°" de cosa' on de 2 cos.r. au ino\en (les sinus ou cosinus des nuiltiples de x. Or il <'sl ('videiil que, si l'on développe la puissance //( dubinônie(i) suivant la formule ordinaire, les termes se composeront du |)n)duil d'une puissance du pi-eniier terme de (1) i)ar une ]Hiissance du second; et, par la formule ])rt'C('-deule, <•!■> puissances s'exprimeront j)ar les cosinus et sinus des nnilliples de x. De plus, il ne subsistera jamais que la puissance de l'un des deux termes de (1), parce que le produit des deux l'un par l'autre est l'uiiiti''. 11 résulte de là que cliaque terme de la puissance /// de (i) renfermera au premier degré seulement les sinus et cosinus des multiples de a-. Va comme deux termes à égale dislance des extrêmes dans le produit ont le même coefficient et seront en r de la forme cos/>jr 4- ^^ — i sinpx et cos/).r — ^ — 1 smy>./', leur somme se réduira à 2 cos/>j" inulllplié |)ar ce coellicient, et le problème sera résolu.

l^a forme (1) est plus avantageuse que (2), par les raisons que nous venons de donner; mais celte dernière donnerait évidemment les mêmes termes que l'autre, si l'on >'inlcidisait dans l'une et l'autre les réductions, et qu'on dévelop|)àt les |)uissanccs de sino" — sinx, qui sont toutes nulles, et dont par conséquent on esl maître de conserver relies (pi'on voudra, j)ar e\enq)le celles de degré pair seulement, où la puissance de \ — i est réelle. En groupant (•(mvenablemenl les termes qui en proviennent, et ipii s'ajoutent à 2'" cos'" J", (pii est toujours le résultat défiiiitil, on ])eut obtenir une multitude de formes nouvelles et retrouver j)cniblemenl les cosinus. des multiples de r, nimme on les a trouvés d'après la formule (1), où les groupeincnls utiles se trouvent tout faits, j)arceque les puissances

364 ÉTUDE DES COUTÏBES.

(|ui V sont indiquées de cos.r ± y — i alnx se réduisent, au moyen de la formule de Moivre, ;'i des sinus et cosinus des multiples. C'est là huit le secret <le ces transformations (|ui causent au premier abord quelque surprise, mais qui n'ont rien de mystérieux pour ceux qui yeulent simplement se rendre compte de ce qu ils font.

294. On dévelo|ipera scmldaldcment sin'".;- en observant que l'on a

2 V^ — I siii^ = (cosar -H \/ — 1 sin^) — (ros.r — y — i sin.r).

En dr\cloppant la puissance m de ce binôme, le résultai sera identique à '>-'" \\ — i)"'sin"'.r, qui sera réel si m es! pair et renfermera le facteur \ — i si /n est impair. Ce développement présentera les termes en sin.r et cos.r, groupés de manière à se réduire immédiatement, par la formule de MoivTe, à des sinus ou cosinus des multiples de x. Et c'est encore ce groupement avantageux que lintroduction des imaginaires dans siiij:' était destinée à produire. Il ne faut pas y voir autre cliose.

Les formules auxquelles conduisent ces transformations, diinl nous avions surtout pour objet de faire connaître lespril, sont les suivantes :

2"'~' cos"'.r = cosntx -i- m ros(/n — i)t

m (m — i) -T- cos(m — 4)-''-^---;

le dernier terme est, dans le cas de m pair,