CHAPITRE Wll

i-l. ilans le ca-; de ni impair,

in{ m — I I ■ ■ . ( — ; — - I

: COSO-.

Dans le cas de //; pair, on a pour sin"'x la formule

am-i( — , , ; sin'Mjrrr cosma- — m cos(m — i)t -^.. .

le signe + du dernier terme correspondant à — pair, et le

. Ol . . . .

^ij.iir — .1 — impair; cl pour le cas de //; im[)air

2'"-t( — Il - sin"' x = sin/HJ- — /« sin(»j — 2)x -f-. . .

le signe 4- correspondant a — ■ pair, et le signe — a

impair.

29o. Apjflicdlinn des formules prijcijdenles tiii il('\'elop- /lement de sin.r et cosj".

L"<»bjel que nous nous proposons est de développer le -inus et le cosinus duii arc quelconque, suivant les puissances de cet arc. Occupons-nous d'abord du cosinus, et l'appelons la lormulc suivante, qui a lieu quel que soit a et

366 ÉTUDE DF.S CODBBES.

([iiel qiio soit le iKiinln-c entier nt :

cos ma = cos'" a

- cos"'~-a sin-a ~ .

'asm''" a :

le nombre îles termes du second membre est si r/i

est impair, et — + i si m est pair; et les coefficients de ces

termes sont composés de facteurs qui sont tous plus grands que zéro. Cela posé, si l'on fait ma = .r, et qu'on élimine m du second membre, on obtient

osa- = coso a

tang-a. . .

et tous les facteurs des coefficients sont encore plus grands que zéro, puisqu'ils n'ont pas changé de valeur. Ce déscloppemcnt peut s'écrire ainsi

COSJ" = co

,■- r .r(.J rtt/langrt,'-

-iin — \)a\ /langaV-' /(. \ a '

Supposons iiKiinlenant «pie, ./■ restant constant, on fasse diminuer il iM(f 'liiiimeril , ce (pii aura lieu par l'augmentaliim liidi'linie du ii lire en! 1er 'ii : la formule (a) Subsistera toujours, et quelle que soit la fraction de x que l'on prenne poinv/, pourvu que c< soit contenu un nombre enlici' de (ois dans x, le développement aura une valeur constanteet sera toujours égal à cos.c quel que soit l'arc x.

CHAFITIIE \\ 11. 3<)7

Il rc'-siille (le là que, si Ion cherche l;i liinil(> iIil l'acteur

\aiiable coi"'i cl (!<■ l'autre l'acteur variable ([ui est le développement entre les pareiilhèses, lorsque l'on fera conycri^er ri \ers la limite /.c'io, le produit île ces limites sera égal à la \aleur constante du |iroduit des deuv facteurs variables, et sera par cousé(pit nt le dé\eloppeinent de cos.r.

Nous allons considérer d'abord le i'acleur cos'V/, ou eos"' — iiui est la puissance /n'""" d'une (luantité qui a |)Our limite l'unité. .Mais ce serait l'oit mal raisonner que

lie nortcr d'abord cos— à sa limite i, cl d'élever <ette lir m

mile à la puissance de degré m indéfiniment croissant.

i.a variable ni doit être considérée avec la même valeur

dans toutes les parties de l'expression ; et dans le cas actuel,

par exemple, il n'est pas [lermis de laisser »i constant

dans l'eNoosant et de le faire \aiier dans cos — - On \oil <rabord que cos — étant toujours mniiidie que l'iiniti'', quelque grand que soit iti, ses pui-saïues le seront aussi, di' -orle nue cos'" — sera louiours inlerieur a 1 unitr. et fine

par C">nsé(]iieiil sa limite ne peut être siipi'iicure à I iiiiiti-. Kn rcmiilaranl cos— par ( i — siii-— ) , il s'agira de

tioiner ia limite de II — sin'-^l , et nous allons proii- \er qu'elle e.-t pri''cisi''meiit l'uiiité. C'est ce(|ui sera évident

si nous prinivons (pic la fjuanlit<'" plus petite ( i -) a

riinité pour limite. Or on peut développer cette dernière |j.:r la lniniidc binôme, puisfju'on a

368 ÉTUDE nES COURBES.

sera mèiiie très convergente puisque — -, a zéro pour limile. Ce dévelii[iiieinent sera

Dans celte série convergente, dans laquelle on fait tendre une certaine quantité vers une limite, on peut, pour avoir la limite vers laquelle tend sa somme, remplacer chaque terme par sa limite, et faire la somme de la série résultante. Dans le cas actuel, chaque terme, exceptéle premier.

lend vers zéro, en même temps que —■> puisqu'il y a toujours deux fois plus de facteurs du premier degré en /» au dénominateur qli'au numérateur; la limite de la série est donc I, et par conséquent on a

1 = lim cos"

Il ne reste donc plus quà trouver la limite du second facteur du second memlirc de l'équation (2); elle sera identique avec cos.r.

Ce facteur est composé d'un nombre fini de termes, puisque m est entier; mais la condition de convergence des séries est remplie par ces termes, de sorte qu'il n'y a pas à s'inquiéter de leur nombre croissant, et on peut prendre un nombre fini de ces termes, à partir du premier, assez grand pour que l'erreur commise en négligeant les suivants soit moindre que toute grandeur donnée, et la somme des limites de ces termes sera aussi peu diflerenti' quon voudra de la limile de la somme tout enlièrc.

En elle!, si l'on prend le rapport du terme i;<''rii'ral au précédent, on lrou\e

: ' — ^: tanfr-f.