CHAPITRE Wll. 3yl

ination. Le sinus et le cosinus clant connus, les autres lignes s'en déduiront par des opt'Tations simples.

L'emploi de ces formules a l'avantage de ne j)as faire dépendre les lignes que l'on calrule de celles qui ont déjà l'té calculées, et par conséquent de ne pas accumuler les erreurs. Elles donnent toujours la valeur des sinus et cosinus naturels, c'est-à-dire les rapports de ces lignes au rayon. 11 est important de remarquer qu'il est suffisant de calculer ces valeurs jusqu'à l'angle d'un demi-droit, ou de 45°; car les angles au delà de ^h" avant des compléments moindres que 4^°, leurs sinus et cosinus ont été déjà calculés. Et même Euler a fait voir qu'il suffit de faire les calculs jusqu'à 3o", les lignes trigonoméiricpies des angles plus grands se déduisant de celles des angles plus |>ctits que 3o°, par de simples additions et soustractions. Nous nou* bornons à ces indications, et renvovons pour les détails aux traités spéciaux.

"191. Réduclion de toute expression imaginaire à la forme a -r b\ — !• Opérations sur ces expressions ainsi transformées .

Considérons l'expression générale (7 -f- 6 y' — 1 qui ren- . terme comme cas particulier les nombres réels, positifs ou négatifs, en supposant 0 = o. Elle rentrerait dans la forme cosa-j-^ — I sina, si Ton avait a- -f- Z/- = i , parce qu'alors a el 0 seraient le cosinus el le sinus dun même arc, ' '* qui serait un cas très particulier.

Mais, en divisant par ^ rt- -t- b- les deux lerincs de l'expression a — h y' — I , on a

3j2 ÉÏLDE DES COURBES.

il l'on peut poser alors

puisque la somme des carrés de ces deux nombres est égale à l'unité; on aura donc, en posant y a- + 6-= o,

( I ) a -- h \l — 1 = p (cos u H- /— 1 sin ç).

L'angle cp se nomme l'argument et i le jnodule de l'expression a -\- b \j- — I . On est convenu de prendre toujours pour le module la racine positive de a- + h'-. Quant à l'argument, si a désigne un des angles a\ant pour cosinus et sinus les

al) , , .

expressions -, -j^=^=z » a et h pouvant être posi-

V rt- -^ b- \/a- -)~ b-

lils ou négatifs, on pourra prendre pour '^ tous les arcs compris dans la formule

/( désignant un nombre entier (pielconrpie, positif ou négatif.

On voit parla qu'en appliquant toujours au\ expressions imaginaires les principes et les règles démontrés sur les quantités réelles, toutes les opérations sur ces expressions se ramènent à des opérations semblables sur les modules, puis sur des expressions de la forme cos'j-|-y/ — i sin», <pie nous avons discutées tout à l'heure.

Ainsi l'on aura, en faisant usage de la transformalion (i),

(„ ;- h v/^ )(«, ^^ 6, /^ ) . . . (rt„ + b„ v/~)

= ??!• • •?/«[cos(!f-|-'fi-4-.. . -4- 'f„)-)-v/^isin(ç-1-cp, -(-... -T-!f„)J,

; 7= =-L'^''^*('f — ?i)-i-V — "Sin(cp— s,)J,

{a-v- b\J — I )'" = p"'(oos7M<p-l-v/ — 1 sin/«tp),

cnvriTri'. \\ 11. 3^3

ni désignant un nombre ivi'l (|ucIi:c)mi|iii', ciiIum- ou Timclionnaire, positif on négalif.

On voit (juello sini|)liQcalion ces Irauslorui^iliciii-i inlio- (luisenl dans le calcul des imaginaires, enten<lu toujours comme nous l'avons rappelé tant de lois. Nous allons en faire une appliciilioii 1res siiiiplr.

298. yiff)/>ticalion à la transfunnntion des formii/cs (les racines de l'équation du troisième degré.

Nous avons vu que les racines de réipiallmi du troisième degré a:' -\- px -(- y = o, dans le cas où elles sont toutes li-s trois réelles, sont représentées par les expressions

A et B rcitrésenlanl respectivement — - ^ l / -r et a, S désignant les racines cubirpies imaginaires de l'unité, de sorte que\A, a\B, €\A seront les trois i-acines culii(|ues de A; et de même pour B.

Dans le cas où l'on a 4- + — <05 A et B sont de la

l'orme — - ± n \, — i , en posant 4- -^ — = ^ "'■ ! et pour

mettre leurs racines cubiques sous la nu;nic forme, afin d'opérer les réductions, nous avions été conduit à la recherche de la racine réelle d'une autre équation du troisième degré. Mais ces réductions sont bien plus faciles an moyen des formules que nous venons d'établir. Il sidïira, en efifet, de poser

- - 4 -- " v^ — 1 = /.(cosîs -f- / — I sincs),

/,- sci-.i //-' ou — —, d'où

ÉTUDE DES COIRBES.

d'oii rôsullcra

V'-.s.nïj.

rt Ion aura les liois racines cubiques de A en donnant à ■^ les trois valeurs 'i, et -, ±: 2-. On aura les racines de li en changeant le signe de ^ — i, et les imaginaires disparaîtront des trois valeurs de ./■.

Nous allons maintenant démontrer un théorème d'une application fréquente.

299. Théorème. — Le module d'une somme d'expressions de In fornie a + /; y — i est moindre Cjue In somme de leurs modules.

Considérons d'abord deux expressions seulement; donnons-leur la forme qui vient d'être indiquée, et représentons-les jiar

p(coso -(- \/ — 1 sin'i), p'(coS'i'-^ v' — i sintp'); le module de leur somme sera

/( p cosç. -+- p' cos !p' j2 -1- ( p sintp h- p'sin<p')-,

■ 2pp' cos(!i> — ffi');

cl comme cos('i — »') est compiùs entre — i et -i-i, la quantité sous le railical est comprise entre (p -|- p')'- el (o — p')-; le module en question sera compris entre la somme et la différence des modules des expressions ajoutées. Il sera égal à p + p', si l'on a 'i — 'i' = 2«tî, et à p — p'

CHAPITKE Wll. 37')

OU 0' — p si l'on a es — ■ z,' = [211 -t- i )-. On pciil donc «hioncer ce lliéorème :

Le module de lu somme de deux expressions que/coni/ues de la forme n -j- b \ — i est plus petit que la somme de leurs modules et p/iis grami que leur di^'êrence.

(jCS deu\ limites peuvent être atteintes 1 une et l';nilie. Par un raisonnement très connu, on passera de deii\ cvpressions à trois, et généralement de n à // + i , cl l'on mium ainsi le théorème ci-dessus énoncé.

300. On peut démontrer plus simplement le inriiie théorème par des considérations géométriques, en picnanl tout d'abord un nomhre rpieicouijuc d'e\]>ressions

ni n — 0 y — I , « I — 0, \ ' — I , .... (i„ -^ b„ V — 1 .

rt, h, a,, h,, . . , a„, b„ avant des signesquelconques et |>ouvant être nulles. Prenons deux axes rectangulaires AX, W ; et à partir d'un point M, choisi arbitrairement sur le plan, menons MB parallèle à AX, égal à rt, dans le sens AX si <i est positif, et en sens opposé si (i est négatif; par le point B menons BM, parallèle à A\, égal à h. dans le sens AY si h est positif, el en sens opposé si b est négatif : on obtiendi-a ainsi un point M,, et, en le joignant au point M. la longueur MM| sera le module de l'expression

Agissant de mènie à partir de M, a\<'c le^ quantités r/, , A, , quelques signes qu'elles aient, on obtiendra un nouveau |)oinl M2 ; et la longueur M, iM^ sera le module de

«1 -. bi \/ — I ;

«l l'on continuera de même jusqu'à a.„ et h„, qui construiront un point M„^,, lequel, joint à M„, donnera le mo-

diile de

(1,1 -i- bii <J — I.

En joignant ce point au premier .M, on aura une longueur dont les projections snr AX, A\ seront respectivement

a -^ (7i — . . . — <7„ et 6 -— Z>i — . . . -^ h,,,

et qui sera par conséquent le module de l'expression

(a — eii —... — «„ )-T-( b -^ bi-T- ...-{- !>„ ly/ — 1,

laquelle n'est autre ciiose que la somme algébrique des expressions (1).

Et comme la ligne droite est plus courte que toute ligne brisée terminée aux mêmes extrémités, il s'ensuit (jue /<■ module d'une somme est généralement ntoindii' quila somme des modules des parties. Il peut tout au plus lui être égal; et cela arrivera lorsque* dans la construction indiquée, tous les modules seront portés dans une même ligne droite et dans la même direction. Ce cas aura lieu lorsque tous les a seront de même signe cnti-e eux, que tous les b le seront de même entre eux, et que le rapport - sera le même dans toutes les expressions.

Remarque. — La démonstration précédente étant indépendaule des signes des (piantités

on peut les soustraire au lieu de les ajouter; ce sera simplement changer les signes de a et b, leur module restera le même ; celui de la somme sera seul changé ; et, d'après la démonstration précédente, il sera encore moindre (/ue la .wmme de ces modules. La proposition subsiste donc, soit qu'on ajoute les expressions données, soit qu'on les retranche.