CHAPITRE XVII

SI Ion lia (|ue deux expressions

(i — b II, — I . " 1 — /' I V — ' ■ qu'on les ajoute, ou qu'on les retranelie, lo module de l'expression résullanle conjoinlenient avec ceux des expressions données seront les trois côtés d'un même triangle. et comme tout côté d'un triangle est plus grand que la dilférence des deux auires, il s'ensuit que le module de la somme ou de la différence des deux expressions de la forme

est plus grand tjue la dijjérence des modules de ces expressions, ou au moins égal.

301. Proposition sur hK/uelle eslj ondée la théorie des éi/uations nlgébri(/ues.

Lorsque nous avons parlé des équations de degré quelconque, nous avons supposé démontré ce théorème, qu<; toute équation a une racine, soit réelle, soit imaginaire, de la forme

Cela nous était permis, puisque, comme nous l'avons souvent rappelé, cet Ouvrage n'est pas un traité élémentaire : et nous y étions en quelque sorte obligé, parce que la démonstration est presque impossible sans l'emploi des formules trigonométriques, dont nous n'avions pas encore parlé.

Mais, dans renseignement élémentaire, on n'altciid pas pour exposer la Trigonométrie que la science des nombres ait été portée au delà de la théorie générale des équations: de sorte que la démonstration que nous allons donner pourra être présentée aux élèves suffisamment préparés, el nous avons pu la supj)oser connue, nous réservant de l'exposer nous-mémc après la Trigonométrie.

378 ÉTUDE DES COUKBES.

( hianl à cciiK f|iii 110 voudraient pas faire les eflorls nécessaires pour bien comprendre, ils pourront s'en dispenser, sans grave inconvénient, puisqu'ils sauront qu'il ne tiendrait qu'à eux détrc complètement satisfaits à cet égard.

Celte démonstration, que nous empruntons au Cours tV ^dlgèbre supérieure de M. Serret, est l'ondée sur le lemme suivant :

Lemmf.. — Si dans un polynôme de degré quelconque m par rapport à la variable z, et dont les coefficients sont réels ou imaginaires, une certaine i)aleur réelle on imaginaire id, substituée à z dans ce polynôme, donne une exjnession dont le module ne soit pas égal à zéro,, il sera toujours possible de trouver une autre valeur pour : i/ut i-otidiiise à un module moindre ipie le premier.

Soit

le polynôme en question; il faut prouver qu'il existe des valeurs réelles ou imaginaires de /( qui rendront le module de /(zo + II) plus petit que celui de f(zo)'> ou le module de-—^ '— plus pelitquc liinilé; car, le module d'un

(|uotient étant le quotient des modules, il s'ensuivra que le module de /(^o + /' ) sera plus petit que celui de f{zii)- C'est pourquoi nous allons chercher le module de (;e quotient et d'abord ce quotient même.

D'après un développement donné dans la théorie des polyn;)mcs entiers et rationnels, on aura

CIlAIMTr.K Wll. 'i^t)

( l remarquons que la valeur r,, ju'iil aiiiiiil<T un ((ilaiM nombre de l'onclions dérivocs dv J[Z), mais par li\|)oihèse elle n'annule pas/(r); de plus, le coenicicni de A'" ne jieut être nul, puisqu'il n'esl autre chose que A ipii nesl pas nul, puisque /"(;) est suppose du degré ni. Divisani les deux membres de l'équation (i) par y'(:;o) el |iosanl. pour plus de commcdilé,

on obtiendra la suivante, en dcsignaiil par // l'ordre de la première des dérivées de/(;) qui ne s'amiiile |)as par la substitution de ^o •"

Nous poserons généralement

et

/( = p(cos'i -i- y/ — I sin»)-

Le second membre de l'équation (2) aura pour Icrme général

• :,,3/'[cos(/)ç -I- ap)-+- /— 1 sinf/7'j -\- a^)],

et l'on aura

^ - ) ^°, ' = i~C„p"[cos(/i -i -^ i„)4- /^sin(/! 3+ a„ l'-^-...

' — C„,p"'[cos(/Hï-^ a„,)-t- /- - E sin(//)o-i- a,„ ij.

IjR quantité It étant arbitraire, et par suite a cl s létant, on peut <:lioisir 'i de telli; sorte (pie

38o I%Tir)K DES COURBF.S.

l'équalion (3) deviendra alors

(4) / = I — 0„p''— (;„+,p«-i-i[cos(«-M'i-V oc„+i)

-- <J — 1 sin ( n -H r o -r- a„^i )] — ... + C,„p"'[c(>s( /«'i -H a„, )^ v/ — ' sin(«ia ^ o!,„ )].

Mais, au heu de prendre le module du second membre, il sera bien plus simple de considérer la somme des modules de ses différents termes. Et comme elle sera plus grande ou au moins égale au module de la somme, il suffira delà rendre [)lus petite que l'unité, pour que le module de

/(^o-i- h) ■ ..... . it • .

• — 7 — soit a foilio/i plus petit (pie I unité.

Pour cela nous commencerons par déterminer p de manière que le terme indépendant de p dans le second membre de (4) soit positif, et il suffira de prendre p < 1/ p-' ce ([ui ne donne qu'une limite supérieure.

Et comme le module d'une quantité réelle posilive est cette quantité elle-même, la somme des modules des termes du second membre sera

et il suffira de trouver des valeurs de p qui rendent celle expression positive et plus petile que l'unilé.

Or, un polynôme étant ordonné par rappoil aux puissances croissantes de o, on sait qu'il existe une certaini' valeur /, telle que pour toutes les valeurs de p, depuis o juscpTà /, le premier terme est plus grand que la somme de tous les autres pris en valeur absolue. On est donc assuri' (pi'entre ces limites pour o, le polynôme

cnAPixnE XVII. 38i

sera négatif comme le premier terme, sans pouvoir être égal à zéro tant que o ne le sera pas lui-niènic ; cl par • onséquént Texpression (5) sera positive cl j)lus pelite que 1 unité.

En prenant donc pour i une valeur quelconque entre

zéro et la plus petite des deux limites /et i/t^' on est

-ùr cjue le module du second membre de (4), et, par con-

-«'■«lueiil, de' — ",'' , — -) sera nlus pelil (iiie l'unilé. Doîi il ' /(-o; ' ' '

résultera que le module dcy"(;o + /') sera plus petit que celui de /{:•„); ce qui démontre la proposition énoncée. Cela posé, nous allons élahlir la proposition fondamentale de la théorie des équations.

30'2. TiiÉonkMF. FONDVME.XTAL. — ï'outc cquatiori dont Ir premier membre est. un polynôme entier et rationnel, à locfficienls réels ou imaginaires, admet une racine réelle iiu imaginaire.

Soit léqualion

dont nous désignerons le premier membre pary(s). Les coefficients A, A,, ..., A,„ peuvent être réels, imaginaires iiu nuls; mais le premier et le dernier sont nécessaireuient différents de zéro, sans quoi l'équation s'abaisserait; et l'on s'occuperait alors d'une équation de degré moindre. ISous allons démontrer que, si l'on pose

il existe des valeurs réelles de j: et r fpii satisferont à r<-qualion

c'cst-à-dire qui seront telles, (ju'en effectuant les calculs

382 ÉTUDE DES COUniiES.

dans l'expression /(a- +^r\' — i ), ce qui conduira à un résultat de la forme P + Q \ — i, la partie réelle P soit nulle, ainsi que la ipiantité Q qui niullipliera y — i; en d'autres termes, qui seront telles, que le module ^P- -i-Qde P+ Qy — 1, ou f{x -\-y y' — i), soit nul. Posons

A = /-(cose-^ y/^sin 6), A, = r, (cosfi, — /— 1 sinO, ),

A„j = r,i,{co&^i„ -1- y/ — i sin 9„, ), 3- ^-y \J — 1 = p( cosa -— \j — I siiiœ);

nous aurons

/(.r -HJ' y/ — i) = f'j'" [cos(mo -s- 9) -+- y/ — i sin(«j<p H- 0)] + . . . -^ /•,„cos(6/„ + y^— isinô,,,),

Il par conséquent

P = 7- p"' cos ( «/'-S -f- 6 ) ^- . . . -f- /•'" cos 0,„ , Q = /p"' sin ( «itp -^ 0) -i- . . .-r- r„i sin 0„,.

(Jn en déduira

et, d'après ce que nous avons dit, /• et /„, sont difTérenls de zéro.

Si l'on donne une valeur quelconque à a^^ et qu'ensuite on fasse passer o de — oo à + oo , y P- H- Q- variera d'une manière continue de — oj à -|- x . Il passera donc par une valeur moindre que toutes les autres, ([ui pourra bien être zéro, mais jamais négative : et plusieurs peut-être pourront lui être é<;ales. Et remarquons que ce minimum III' jii'iil correspondre à p infini, ipii rendrait le; module