CHAPITRE XVll

infini. En donnant à la variable -j toutes les valeuis comprises entre o et 2—, et par suite à x el jy toutes les valeurs réelles possibles, on aura toutes les valeurs cjuc jieut |)ren(Jre y'P- -|- Q-; et il v en aura nécessairement une, ou [)eul-être plusieurs égales, correspondantes à des \aleurs linies de p, qui seront moindres que toutes autres; c'està-dire que tout autre svstènie de valeurs de /• et -i, ou de ûT, y que ceux qui correspondent à cette valeur du module \ P- H- Q-, lui donnerait une \;ileur plus i;rariile.

Cela posé, il est évident que cette \alcur minlma du module ne peut être (]ue zéro; car, d'après le lenime précédent, si elle était différente de zéro, on pourrait trouver des valeurs de x ely, ou de /• et '-i, qui le rendraient moindre; ce qui impliquerait contradiction. Donc les valeurs réelles de X el )• qui correspondent à la plus petite valeur du module, et dont l'existence est évidente, annulent ce module, et par conséquent P el Q, et jiar suite le premier membre de l'équation ( i ).

Cette équation admet donc au moins une racine de la l'orme .»• -j- >■ = ^ — 1, ./■ <•( v élaul di> inuniites réels : celte racine sera réelle quand )• sera zéro. De là résulte le théorème proposé, qui consiste en ce que :

Toute éqiialioii dont le premier membre est une fonction entière de lu lettre qui représente l'inconnue a une racine réelle ou imafj^inaire.

11 est inutile de rappeler ici toutes les conséquencres que nous avons développées dans le Volume précédent, où nous avons supposé ce lliéorème démontré.

Des séries iintiginnires.

303. Lorsque les termes d'une série sont d<' la forme '/ 4- e ^ — 1 , on entend que cette série est eon\erj;enle l(ir>iiue la somme des liTmes réels a um- limite v il ciuc la

somme des coefficients de y' — i tend de même vers une limite t : on dit alors que la série a une limite qui est

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles ; mais il suffit souvent d'en considérer une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

u -h- V / — I = p(cos6 -h v/ — I finfl ), et la série proposée prend la forme

l pi(cos9i -^ / — i sinô,) -i- OofcosOo^- / — i sinô^)-!-. . . ( I ,) .

[ -^ pa (cosO„^ v' — I si nO„ )-)-... .

Or, si la série

(■■>-) pi -^ ?2— ■■• -^ P«

est convergente en prenant tous les termes positifs, il s'ensuit, à plus forte raison, que les deux suivantes :

l p. cos6, -T- po cosO., -^ . . .-^ p., cos6„, ( pi sin 61 -;- p-i sin Oj -+-...+ p„ sin6„

le seront elles-mêmes ; car, à partir d'un terme quelconque, la somme des suivants jusqu'à l'infini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoucer la proposition suivante :

Une série iiuaguinirc est coii'.'ergeiile /orsi/ue la série des l'aleurs absolues des modules de tous ses termes est conwerge/ile.

Lorsque la série (2) n'est |)as convergente, il est possible (pic ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils n'y tendent pas, les séries (3) ne peuvent être toutes deux

tu VIMTnF. \MI. 385

ronvergenles ; car, quelque valeur qu'on puisse supposer à l'angle 0, il est impossible que f cosO et psin'j tendent tous deux vers zéro, si : n'v tend pas : les termes des deu\ séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro, ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série ( i) est donc dans ce cas divergente.

En second lieu, si, la série (2)étant divergente, ses ternies décroissent indéfiniment, il n'est pas impossible que les séries (3) soient convergentes, parce que tous leurs termes ne sont pas nécessairement de même signe : on ne peut donc alors rien affirmer, en général, sur la convergence de la série proposée.

304. Opérations sur les séries imaginaires. — Les seules séries imaginaires dont on doit s'occuper, étant convergentes, ont pour somme une expression de la forme

A -h By' — 1 ; et. en désignant par M le module y'A- ■+- Bet par h l'angle dont le cosinus et 1 • sinus sont respectivement vî' »ï' cette somme se trouvera exprimée par

.M(cosCj — / TsiiiO).

En entendant toujours de la même manière les opérations sur les imaginaires, on exécutera avec la plus grande facilité toutes les opérations sur les fonctions représentées par ces séries. Si, par exemple, on avait à midtiplier deux fonctions représentées j)ar des séries dont les sommes sont

M(cosO -f- /— I sinô) et N(cos<s-t-/— isin-i),

le produit serait

MN[cos(ft-l-^)-f- /^sin(ft-i- 'i)],

et il serait la limite du produit des deux polvnômes composés des /( |)remicrs t -rmes de chacun qu'on multiplierait Imi. - Afetli. III. 25

386 ÉTtDE DES COIRBES.

suivant les règles des polynômes, le nombre n croissanl indéfiniment. Si l'on avait à les diviser, le quotient serait

— [ 005(6 — ti)-f- v'^^sin (•0 — 0)1.

puisque cette expression, multipliée par le diviseur, reproduira le dividende.

303. Théorème sur la multiplication de deux séries imaginaires. — Ce théorème n'est que l'extension de celui qui a été démontré jH'écédemment sur les séries réelles, et il s'y ramène ininiédiatemcnt.

Désignons par /„ et p,, les modules des termes de rang n de deux si'ries imaginaires

( /•, (cos?, -I- /— I sin<, )-H /^(cos^s-- / — i sin ?i) -h. . . f -1- /•,i(c'fis?„-T- y/ — I sin/,,)-^. . .,

pi ( cos6, -+- y/ — I sinfl, )-l- p2 (cosOj-^ / — i sinOj)- H- ,o„(cosO„H- /— I sin6„ )-(-... ,

et supposons que ces modules pris tous positivement forment deux séries convergentes dont nous désignerons les sommes par s, s' : les proposées seront elles-mêmes convergentes et nous désignerons leurs sommes par S, S'. Considérons maintenant une troisième série dont le terme général soit

On sait qu'elle sera convergente et que la somme des termes aura poui- limite le produit 55'. Or, il s'agit de démontrer' que, si au lieu des modules des termes on prend les termes eux-mêmes, on formera une série imaginaire dont la somme sera le produit des sommes S, S'.

CHAIMIKI'. XVIII. 387

Kn ofl'el, le terme général de cette s(''rle sera I -i- /-.p,, [cos(/,--0„)-v'-Tsin(?,- ()'■)]

I '•«fi[cos(/„ — 0, l-i- \/^^fin(/„ — e, )].

Or, le terme (3) est plus grand que la partie réelle cl que le coefficieiil de \' — i dans le terme (4); car les sinus el les cosinus ne peuvent dépasser i et leurs signes peuvent n'être pas tous les mêmes : d'où n'siilte ('■viilciimicni la convergence des deux séries formées de la partie ri'clU' ri de la partie imaginaire des diflërents termes de la s(''ri<' di)iit le larme général est (4)' H psI rionc déjà démontré que celle série est convergente, el il ne reste plus qu'à |)rouver qu'elle a pour somme le ))roduit des sommes des deux autres, c'esl-à-dire SS'.

Pour cela posons

et désignons par ■7„ la somme des /; premiers termes de la série dont le terme général est (3), et |iar /> la moitié de n ou de « -t- i , suivant que n est pair ou impair. On sait que T„ renferme tous les termes du produit ■'>■«'. et d'autres encore qui ne sont qu'une partie de c^mix (pie s„.s'„ a de plus que •''pS'p; et c'est même de là qu'on a conclu que 7,, avait pour limite le produit des limites des sommes s„, .s-)^.

Or, si l'on désigne par S„, S«, ^ les sommes des n premiers termes des deux séries imaginaires proposées, et de celle dont (4) est le terme général, il est ésidcnt (pie > contiendra tous les termes qui composeront le produit S S' , el d'autres encore qui ne seront qu'une partie de ceux que

388 ÉTLDE DES COIKBES.

S,, S„ a de plus que S S' ; mais les termes de ce dernier excès ne diffèrent de ,s„.<'„ — SpS'^ que par des facteurs trigonométriques de la forme

cosp -t- \' — I sin p ; la somme des termes réels v sera donc moindre que s s'u — ^p^'pt 6t le coefficient total de y/ — i sera aussi moindre que celle même quantité. Mais on sait que cette quantité tend vers zéro ; donc il en sera de même de la partie réelle et de la partie imaginaire de la différence

S,,S), — SJè'p, cl à plus forte raison de l'excès de > sur

IMais, à mesure que n augmentera indéfiniment, la partie

réelle el la partie imaginaire de S^S^, ainsi que de S„S^,, trndent vers celles du produit SS' ; donc, 2. <" pour limite SS', comme on se jtroposait d ■ le démontrer.

306. Développement d' une puissajice quelconque cV un binôme imaginaire.

Si le degré de la puissance était entier, la formule ne différerait en rien de celle qui se rapporte à un binôme réel, puisqu'elle ne dépend que des procédés de la multiplication, et qu'il est bien entendu qu'on les suit identiquement lorsque les termes sont imaginaires. Il n'y a donc lieu d'examiner que le cas où l'exposant est positif et fractionnaire quelconque, ce qui, comme nous l'avons plusieurs fois expliqué, comprend le cas où il serait incommensurable; el enfin le cas où cet exposant aurait une valeur négative quelconque.

ïoul binôme imaginaire o + b\\/ — i, a et b pouvant a\()ir des signes quelconques, peut se mettre sous la forme

P(cosO-H /^^sinO),