CHAPITRE XVII

en posant

y'a--T- b'= y, ■ = cos6, - = sinO;

cL (Ml iieul encore récrire ainsi

z cosO(i— v^^^langO),

(le sorte (|ue, si «(désigne le (Jegré de la puissance en cpiesllon, on aura

{a-^b^/~^)>" =(pcose)"'(i -i- /^ tangO)'".

Le nionijine pcosÔ sera positif ou négatil" suivant la \aleur de cosO, qui est de même signe que a, ])uis(jue nous prenons toujours le module p positivement. La puissance de ce mon(jme ne donnera lieu à aucune dif{icullé. Si l'exposant a un dénominateur q^ la puissance //( de scosO aura (jf valeurs difTérenles quel que soit le signe de /??; nous les avons discutées précédemment, et nous n'y r('\iciidrons pas. Nous nous bornerons à dire ([u'en aUrihiianl toutes ces valeurs au facteur mon(')me, il suffira d'en considérer une seule pour la puissance m du liirMuiK; 1 -+- \J — I tangO, et cest cette reclierclie qui va maiiilciianl nous occuper.

Soit donc proposé de développer la puissance de degré /» , positif ou négatif, d'un binôme quelconque i + ■'^ \ — i, suivant les puissances entières et p(jsitives de x.

Nous suivrons la même marche que dans le cas d'un binôme réel, et nous chercherons ce que représente la série suivante :

l' '" / — in(m~\)f I ,

I ini m — 1 I . . . ( //) — n -!- I ) / , ^

3()0 ÙTLDr: DES COURBlîS.

Mais, a\;iiil (le clierclier ce qu'elle représente, il faut s'assuier f|u'elli' est convergente, sans quoi la question n'aurait j)as de sens ; et pour cela il faut que les termes réels forment une série convergente, ainsi que les coefficients (le ^ — 1 ; c'est-à-iiiie qu'il faut que les séries

i»{ m — 1 ) lu ( 1)1 — I ) ( m — a ) f m — 3 ) ,

soient convergentes. Or, en prenant dans chacune le rapj)()rt d'un terme général au précédent, on trouve qu'il a pour limite j- quand le nombre des termes précédents cruil indéfininicnt.

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux séries soient convergentes est donc x'-<^i.. En conséquence, nous ne devrons considérer que les valeurs de .r comprises entre -|- i et — ^ i ; mais m pourra être pris arbitrairement.

Considérons maintenant une série semblable à (i), el qui n'en dilfère fpie par le changement de d) en m' \ [mis multi|>li()ns-i('S l'une par l'autre comme dans le numéi'O précédent : cette nouvelle série sera convergente et aura pour somme le produit des sommes des deux premières : son terme général

I m -H III ){ III ^~ m' — I I ...(«( + //;' — p ~\- i ) i , y

s'obtient en changeant m en m -1- m' dans la première. •'^ En multipliant la série ainsi obtenue par une troisième iidférant de la première par le changement de m en ///',

CHAPIJKE x\ii. 3yi

iiii en oblieiulra uiu; autre dunt la somme sera !<• piodiiil lies Iroisséries mullipliées, el dont les termes se déduiront de ceux de (i) en y changeant m en m + m' + m" . Et il en sera de même si l'on continue cette opération pour un nombre quelconque de séries semblables à (i). Pour exprimer cette propriété de la série (i), désignons la limite de sa somme par o {m), nous aurons

Celle proposition remarquable va nous conduire à la connaissance de la fonction désignée par»(«*) dans les deux cas que nous consitiérons, de m positif et de ni négalil.

i" Supposons d'abord //; positif el comnicnsLirable, on aiu'a

/• et^ étant des nombres entiers (juelconques.

DansTéqualion (a)prenonstouleslesquanlités ///, m" .... égales à m et en nombre //; elle deviendra

o ( m )'l = -i(qm} = o( r).

Mais, /■ étant entier, 'i (/•) n'est autre chose que

on a donc

et, par conséquent.

(p(rti) = V(i H- j;/— r)'',

iiu, en employant la notation des exposants fractionnaires, pour les expressions imaginaires comme pour les réelles,

'^1 m ) —(i ~ v \J — I y'' = ( I -- .r \J — I )'". On a donc pour toute valeur commensurablc, et, par cou-

392 ÉTUDE DES COUr.BES.

séquent aussi pour loule valeur iiiconiinensiirable de ni, pourvu qu'elle soit positive.

(i -hr \/ — I )'" = I -T- //î î- i/ — I

iniin — 1)/ j -..

2" Supposons malnlenanl que m ail une valeur négative quelconque, — //. I^a fornuile donnera, en ne considérant que deux séries,

équation qui deviendra, en prenant ni' znz /?,

Mais, en faisant ni^o dans la série (i), elle se réduit à I, et par conséquent on a

Donc

tp(o)= I.

et, comme n est positif, on a

-^,,0 = (i-^^v/^)", et par conséquent

et, en einplo\ant la notation des exposants négatifs pour les imaginaires,

Donc, ipielle que soit la valeur réelle de ni, pourvu que x

CHArlTIlE XVII. 303

soit compris entre -;- i el — i , on a

,' ,m / — - inim—i), , N.,

m (m — \)(in — p -~ i }

/ .;« / mim — I) , «il 7» — i\(in — •!) , ,-

[l—x\ — il = I — mx\/ — I x- x'J -

DKS FONCTIO>'S TRANSCENDANTES DE ()I ANTITÉS IMAGINAIRES.

307. Jusqu'ici les opérations que nous avons eflectii(''cs sur les expressions imaginaires n'ont été que des additions, soustractions, multiplications, divisions, élévations aux puissances el extractions de racin'es; nous avons étahli neltemenl la manière dont ces expressions, ou, comme un dit aussi, ces (/uantités seraient traitées, et les propositions qui en sont résultées ont eu un .sens parfaitement clair. Or on reconnaîtra, en avançant dans la science, (piil est utile de les soumettre à toutes les mêmes opérations que les quantités réelles, et qu'il en résulte une généralisation importante dans les procédés du calcul et dans les formules auxquelles ils conduisent.

Ainsi on pourra élever un nombre ù une puissance imaginaire, prendre le logarithme d'une quantité imaginaire, en considérer les lignes trigonnmélriques directes ou inverses, etc.

Mais la première chose à faire est de donner un sens précis à ces opérations, qui n'en ont jusqu'ici que quand elles se rapportent à des quantités réelles; et comme nous avons fixé avec précision la manière dont nous entendions

3g4 ÉTUDE DES COURBES.

qu'elles devaient èlre li-ailées dans les opérations inférieures, c'est à celles-ci que nous rapporterons toutes les :i 11 très.

(( En conséquence, lorsque nous voudrons définir une lonclion quelconque de quantités imaginaires, nous commencerons par donner à cette fonction de variables ./', j'. ;, ... une forme telle, qu'il n'y ait à exécuter sur ces variables que les opérations inférieures désignées ci-dessus; et ensuite nous remplacerons j:,j', ^, ...par les expressions imaginaires correspondantes. »

Et il est bien entendu que, s'il en résulte des séries iuKii;inaires, elles seront conxcrgentes, sans quoi il n'y aurait

aucun sens à cette substitution. Par exemple, a .-i-

gnifiera qu'après avoir développé a-^ suivant la série

( x/a r- ( xla )■' I -r- j:la h ^ 5- - ....

(pù il n'v a à i-xécutcr sur .r que des multiplications, divisions et élévations à des puissances, on remplacera .i' par a + ê ^' — i .

De même, sin(a-f-êy — i) signilieralt le résultat de la substitution de a -|- ê\ — 1 à x dans la série

ys ,-5

et ainsi des autres.

Il faut reconnaître toutefois que, si une fonction d'imaginaires dépend de Jonctions déjà clairement introduites, et par des conditions qui n'offrent aucune obscurité et qui servent de définition à une fonction connue dans le cas des quantités réelles, la même définition convient naturellement à la fonction d'imaginaires, et c'est elle que nous donnerons au lieu d'avoir recours aux. se-

CHAPITHE XVII. 39a

ries. Ainsi, après avoir défini rexpoiicMiliclle iiiinginainfi^^ "' d'après le développement de a-^ en série, nous dirons cpie a + S y/ — -i est le logarithme, dans la base <i. du développement olitenupar la substitution de a + êy — i à x dans a^' . Va généralement nous appellerons logarithme d'une quantité réelle ou Imaginaire l'exposant qu'il faudrait donner à la base pour reproduire cette quantité, si cela est possilde, en entendant les exposants comme nous venons de le dire, (^e sera ensuite une question à examiner si le logarithme ainsi défini sera le même que celui qui aurait été défini au moven des séries démontrées pour les quantités réelles.

Cette remarjpio peut être appliquée à d'autres ff)nclions inverses.

308. Avant d(,' procéder à aucune reclierciie pailiculière. nous établirons une proposition générale bien simple, mais d'une application continuelle. Elle consiste en ce que, si le résultat de certaines opérations efTectuées sur des fonctions de variables x,y , ;, ... a été obtenu quelles que soient les valeurs de ces quantités et ne dépend, quant à la forme, que du mécanisme même de ces opérations; que de plus ces fonctions et les calculs exécutés sur elles ne renferment que des opérations qu'on exécute sur les ex- |)rcssions imaginaires suivant les mêmes règles que sur les <piantités réelles, il suffira de substituer à x, r, ;, ... , dans le premier résultat, les expressions imaginaires proposées, pour obtenir identiquement le résultat des opérations qu'on elfectuei-ait sur les fonctions données dans lesquelles on ferait les mêmes sidislilutions à x. y, :,....

La vérité de cette proposition se reconnaît immt'diatemenl. Pour en donner un exemple, nous rappellerons que, si l'on exécutait sur x et r les opérations indiquées comme

Sgt) ÉTLDE DES COIRBES.

il suit

n ^- i I XI X — I ) . . . I ./• — /i — i) y

on axirail le même résultat en x et y que si l'on eséculail celles qui sont indiquées par l'expression suivante, quelles que soient les valeui-s de x et v,

On peut donc dire que la même identité aura lieu si, au lieu de J" et y, on mettait a -^ ê y — i et a' -r o\: — i, puisque les opérations indiquées s'exécutent sur ces dernières expressions suivant les mêmes règles que sur les quantités réelles.

EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES IMAGISAIRES.

3U9. Les logarithmes des quantités réelles peuvent être l'amenés à la base unique e du système népérien, parce que, tout nombre positif a étant égal à e'", on a a^ = e^'"; et, en posant xla = z, les logarithmes x et ; d"un même nombre quelconque dans les bases e et a ont entre eux un rapport constant.

De même, toute exponentielle imaginaire fi^-^^^-' à base quelconque a peut être ramenée à une exponentielle à basée; car, d'après la définition des exponentielles imaginaires, on a

^j,^oV-, I > , i^^ \ r / lîfi j

,. , • ■ 1 • I («-rSv'~.)M

développement qui n est autre que celui de e

( IIAI'ITRE WII. 397

Si donc on fait a /« = m, èla = /;, on a idontiquecnl, d'après la dcfinilion des exponenlielles imaginaires,

^sv/-

/;/ et n élant respcclivemoni a et ê niuUipliés pai" /r/. On peiil donc se borner à considérer les exponentielles à base (', ce qui sera |>lus commode ; on les rapportera facilement ensuite à toute autre base, si l'on en a besoin.

mO. Ze.ç opérai ioii'i sur h-s e.rpo/ien/ielle.t i/iiagi/iaïres se Joui suivant les inrnws ri'i^les ijue sur les exponentielles réelles.

INous allons démontrer d'abord ([lie lexposanl d'un produit est la somme des exposants des facteurs. Soient (Il ('(Tet les deux exposants a+ êy/ — i et a' + ê'^ — i, a. 7.', 6, ê' étant des nombres réels quelconques, positifs ou négatifs; les quantités correspondantes seront

Si, pour abréger, nous faisons y. -î- ^ y' — i = u, n! -t- 6' \l — I = c, ces deux séries deviendron I

Si on les multiplie par le procédé (Ic'jà enqiIo\é, on trou-

898 ÉTl DE «ES COiniliES.

vora pour terme général