W II

qui n'est autre cliosc que le résultat que le mécanisme flu calcul, effectué comme pour les quantités réelles, donne-

rait pour

On obtient donc ainsi une série qui ne diffère de celle <n 1/ que par la substitution de // + r à //, quels que soient Il cl r, et par suite par la substitution de

dans la série (i), et qui, par conséquent, représente

(Taprès la définition.

Mais nous avons démontré que la série obtenue par ce procédé a pour limite le produit des limites des séries (i) et (2). On a donc

<:'est-à-dire que la somme des exposants est l'exposant du produit des deux quantités correspondantes, quels que soient d'ailleurs les signes de ces exposants.

Celle proposition ayant lieu quels que soient a, ê, a', ê', on peut avoir ê = o ou ê' = o, c'esl-à-dire qu'elle subsiste quand l'un des exposants est réel et l'autre imaginaire.

El si l'on avait a' = — a, ê' = — ê, le produit sérail i ,

, , , 1 ( « -I- t' )« narce que le terme gênerai ^^ — serait zéro pour toutes

les valeurs de n depuis n = i ; ce qui montre que

c—e^'-' = '-rp=>

CHAPITr.E Wll. 3ç)9

<l que. parconséquent, le changement de signe d'un exposant imaginaire quelconque produit sur rexponenlielle le même effet que (juaiul l'exposant est réel. La formule (3) donne bien au produit la forme c" : mais il était nécessaire ici de reconnaître d'oii venait ce zéro.

31 1 . Si l'on multipliait le produit des deux séries (i), (a) par une troisième série représentant t»''""'" * ^~% il faudrait de même ajouter les exposants a -r 7.'^-(ê-t- S')\ — i et a"-|-ê"y/ — T, et le produit serait la représentation de

En continuant ainsi, on arriverait à celte proposition générale que, si des expressiom en nombre (/uelcoiit/iie mit des logarithmes imaginaires ou réels, leur produit aura pour logarithme la somme de ceux de ses fadeurs.

De cette proposition il résulte que le logarithme ilu quotient de deux expressions qui ont des logarithmes imaginaires est la différence de ceux-ci.

312. Si l'on multiplie entre elles m expressions identiques à <?'"*"*'"', la somme des exposants sera

ni[o[ -~ ê/ — i),

<l'où résulte qu'en multipliant un exposant imaginaire par

un nombre entier positif w, on élève l'exponentielle à la

puissance m.

El, par conséquent, si l'on divisait l'exposant par ii, on

aurait une racine /i'*""* de l'exponenlielle. En réunissant

les deux opérations, on voil que, si l'on multiplie un expo-

in . , Il

sant imaginaire par — > on extrait la racine n"""' de la

puissance m de l'exponentielle, et Ve^fet est le même tjue pour les exponentielles réelles.

313. Ex/iiession des expoiwjitielles imaginaires au moyen des sinus et cosinus. Formules générales des logarithmes de toutes les i/uantités réelles ou imaginaires.

En prenant pour exposant de e une quantité imaginaire quelconque )' + .r y^ — i , )• et .»■ ])ouvant être positifs ou négatifs, on a, d'après ce qui vient dèlre démontré sur Ie> exposants,

r'.v+.r i'^ = ey e' *^^

= er I H- J- /— 1 — ^— —

= ey{coix -^ /— I sin.r).

Si Ion a r = o, il en résulte

( ■] j er»-' =cos.r-^/ — 1 %mx,

ou

/ ( cos X -i- / — I sin x) = .r / — I .

Faisant x = 2«- dans (4), « désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif, on a

cos:r = 1, sina" = o, el, par suite,

^SH'^vrr^ 1,

cl c'est là la seule valeur de l'exposant qui puisse donner l'unité pour valeur de l'exponentielle, puisque c'est la seule qui rende sin x = o el cos x = i . Tous les logarithmes de + 1 sont donc donnés parla formule

/.I = ■i.riT.^ — 1, et on pourra les ajoutera tout logaritlime, puisque ce sérail simplement introduire le facteur i dans la quantité.

(lîAI'lTRF. XVII. 4*J'

La seule valeur réelle do /. i est donc zéro, et correspond à /i = u.

Si, dans réqiiation (/\), on l'ait

.!■ = (in - I )-, il en résulte

et toute autre valeur de l'exposant ne pourrait donner pour résultat — i, puisque nous avons pris |)our x la valeur la plus générale cpii rende le second meinlire égal à — i.

Il suit de là que les logarithmes de — i, dans la base de INéper, sont exprimés par la lorinide

et, comme « = a X i et — rr =^ a x^ - i, tous les logarithmes de II seront conqjris <lans la lormulc

la -i- •in-\' — 1 1

qui ne donne c[irune seule valeur réelle, et ceux de — a dans celle-ci

la -+- ( 2/1 -r- i)-\i — I . ■

qui ne donne aucune valeur réelle.

31 i. Formule de t<)iL<: les logarilhincs d' une expression imaginaire ft -^ h \ — • i .

On a identiquemrnt

Désignant par 0 un arc avant pour cosinus , et pour

Util. - .!/((/(. III. 26

sinus , et par ■; la valciii- positive th'. \j a- -\- b-, on

4'>2 KTUDE HES COl'RIiES.

aura

a -^ b v/ — I = p I cos (^ ± ■m-)-,- / — i siii ( 6 ± 2 h - ) ] ,

\/ — I désignant dans les deux membres la même racine carrée de — i . Or les deux facteurs de ce produit ayant resj)eclivemcnt pour logarithmes /p et f) ^/ — i, il en résultera

l'expression la plus g<'nérale de a 4- 6^/ — 1 en exponentielle est donc

Cl, par conséquent, la valeur la plus générale de

l{(/-h l>\, — I ) est

/{a + b^— i)= Ip 4-(0-^ 2 /( TT ) /— 1 , et, comme conséquence,

/(cdsfl-i- v/^^sine) = (0 -H anir)/^^,

y' — I étant toujours la même racine carrée de — i dans les deux membres.

Si l'on changeait // vn ■ — h, il sul'lirait de changerden — 0, et en achevant scmbiablemcnt le calcul, on obtiendrait

i/ii: ) \/~

y/ — I étant toujours le même dans les deux membres, /( étant un nombre entier arbitraire, positif ou négatif, qui, par conséquent, pourrait être pris différent dans les logarithmes de a -+- ùy' — i et de a — l> \^ — i, bien qu'ils entrassent dans le même calcul.

Dans le cas particulier de « = o et ^ =: i , on a

CHAIMTRK XVII

(les formules donnent

(il ces deux ci(ualio:is peuvent èlro renfermées dans la suivante

d'où

la \aleur de^ — i étant la même dans les deux membres; les valeurs paires de /x correspondant à l[^ — i) et les impaires à /( — y/ — i). Les plus simples de ces valeurs s'ohliendront en faisant dans la première /r == o, et dans la seconde A =; — I ; elles seront

V^-Tv/-

el /i y

){|,^. Considérons encore une expresMon plus compli- (piée, et cherchons le ]oi;aritlime (h; la puissame de di- •^vé imaginaire /// + /? y' — i d'une (juantité imaginaire '' -r- 6 y'' — I .

IJ'après le sens que nous avons donné aux exposants imaginaires, \a + (j\^/ — ij'n+"v-i iiidi<pie le résultat de la substitution de m 4-"v — i à .c dans le développement iic{a + b\/ — i)-', suivant les puissances de .r. Pour obtenir ce dernier, ou rempla(-era d'a!)ord « -+- i< y ' — i par Mlle expression ir igouomélri(]i:e en posanty a- ■{- //- =^ p,

4o4 ÉTUDE nES COI r.BES.

el désignant par H un arc a\anl pour cosinus - et pour sinus -• Tous les arcs jouissant de la même propriété seront

exprimés par la formule 0 -4- a/-, k désignant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. On aura ainsi l'expression Irigonométrique la plus générale de a -\- b y' — i en prenant

a + b v^ — I = p [cos( 6 — ikT.)-\- y/ — i sin( 0 -H ikT.)\ /c+t8-l-2*-)V'^,

= e ' et, d'après ce que nous savons, on aura

Il faut maintenant remplacer x par/» + /^v — i dans le développement de cette dernière exponentielle, ou bien, ce qui donnera le même résultat, faire cette substitution dans l'exposant même et développer ensuite. La signification de l'expression proposée est donc clairement établie par l'équation suivante :

Maintenant, l'exposant de e. dans le second membre est un logarithme de l'expression proposée; et, comme nous l'avons dit précédemment, on aura la formule générale do tous ses logarithmes en y ajoutant l'expression générale des logarithmes de l'unité, ou aZ/rry — i, />' désignant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. On aura donc la formule générale suivante :

CHwrraE xvii. 4o5

La règle est donc encore la même que si I"e\posanl était réel. On trouve, en efifecluant et supposant que y/ — i indique partout la même racine de — i .

= »!/p — n(f| -=-2A--)— /— I [nlp — miO^ ik-)—ik'-].

Quant à l'expression proposée elle-même, elle serait transformée dans la suivante :

= £«'?-"!' + '*=' j cos[nlp - m (0 ^ aX- i- a//-]

^ \/ — i sin[/i/p -^ /«( 0 -r aX-^-T- 2/.'-j!

Dans le cas particulier où Ton aurait a = o, b = i, w = o, rt = I , et par suite i = i , loz^o. f) = -, cette dernière équation devient

ce qui est conforme à la règle dans le cas des exposants réels, car, en la suivant, on écrirait

mais, puisque

V^ — I = cos — ^ v/ — I sin - = e^' ' >

//:ri==(i-^2/,^j/^,,

4o() ÉTCDE DES COURBES.

et, par suite,

et on aura le looarillinie le plus général en y ajoulani 2/.'-^ — I. qui est le logarithme général de l'unité.

316. Dé^eloppemput en scrie du lof^nrithine d'unitiuantité iniaf^inaire. ■ — Nous avons vu que tonte expression imaginaire a — ê y — 1 a un logarithme de même forme ; nous allons nous proposer d'exprimer ce logarithme

par une série. En mettant a en facteur et posant ^ =z x, cette expression de\ient a(i-i- j"y — 1], el son logarithme est égal à /a-|- l{\ +xy' — i).La question se réduit donc à développer /(i + .ry — i) en série.

Nous avons déduit précédemment le développement de ^(i + J")de celui de (i + .r)"'; voyons si l'on ne pourrait j)as semhlablement déduire le développement de /(i + jcy/ — I j de celui de ' 1 -|- x.'^/ — i )"', qui est, comme nous l'avons fait voir,

{i-\- X 1/ — I )'" = I -f- mx J — I -i ix J — I )^

m {in — I M 7/i — 2 ) / / u

et qui est convergent si x est compris entre — i et + 1.

On en déduira, comme dans le cas du second terme réel, en faisant tendre m vers zéro.