CHAPITRE wii

11 s"agit nialiileiianl de liou\<'r la limite du premier membre. Or, puisque i -?- 's — i = <'' ' ■^'~''. on aura, daprès ce qui précède,

/ni il — .ry— il m- /^ (l -t- -r \/ — I ) 1 i.'J.

d'où

lui) ~ = l{i — j-\f— i),

ce logarithme élant pris de la manière la plus générale. Il comprendra comme cas particulier l'expression trouvée

d'abord pour limite "de et nui s'annule avec ./•.

On aura donc, pour le' développenienl de /(i — .r\ — i) «annulant avec .r,

(.1) /( I — xyj — i)= — — ^ — ■■ - — -T^ . . .;

et par conséquent le développement du logarithme d'un binôme imaginaire suit la même règle que celui du logarithme d'un binôme réel.

'•Wi . Xous pouvons déduire de la ("ornuiie i) un développement important, celui d'un arc au nioven de sa tan gente. En efl'et, on a

/(l — x/^) = - /(I — xV)— y/-

4o8 ET IDE DES COIUBES.

mais la lorimile (i) devient, ea cfTecluant les puissances de \ — I .

Ces deux \aleurs de /{i-f-.f), devant être identiques, ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. C'est ce que Ton reconnaît immédiatement pour la première; et la seule proposition nouvelle qui en résulte, en égalant les parties imaginaires, est le développement de arc tangx suivant les puissances de r. 11 est, pourvu que .r soit compris entre — i et + i.

aiT lanj.r ^

(Test, de tous les arcs (|ui ont la même tangente .r, celui qui devient nul avec x .

Cette série remarquable donne une expression du rapport de la circonférence au diamètre. En y faisant .r=i, elle de\ient

Malheureusement cette série, qui a été découverte j)ar Leibnitz, est très peu convergente, et exigerait de très longs calculs pour donner une approximation assez faible. Mais Euler a indiqué un moyen d'en tirer une valeur de r. en n'employant que des valeurs de x qui la rendent très

convergente. 11 consiste à partager -, en deux arcs dont les

tangentes aient des valeurs simples, et de calculer chacun d'eux par sa tangente, qui, étant plus petite que i , donnera lieu à ime série plus convergente.

l'renant jiour l'un de ces arcs celui tloiil la tangente