Bemart/ue. — On aurait pu di'duire la limite de

^ — — comme cela a ete lait précédemment dans

le cas d'un binôme réel ; mais nous y sommes parvenu

plus promplement ici, parce que nous avons pu faire usage

du développement d'une exponentielle en série, ce qui

n'était pas encore connu dans le premier cas. On pourrait

néanmoins suivre tout à fait la même marche, comme nous

4 m ÉTUDE nES COtllBES.

allons le démontrer; et cela aura l'avantage il (Hendre aux

imaginaires la |)roj)osition imporlanle que - — ; — - a pouilimite l'unité quand a. tend vers zéro.

I" Supposons d'abord a de la forme .r\ - i et cher-

(lions la limite de ^ r:^ — - quand .r tend vers zéro, en

considérant le logaritliiiie qui s'annule avec .r, c'est-à-dire prenant /. i = o.

Or on a

/(i -H T^~- i) = - l(i-~ x^ ) -:- v' — I arc tanfja-.

et

/(i-r-.rv/ — i) I l{i^-T-) arc tangar

,, , , ,. . l(i-h.v'') , . iLn passant a la limite cl remarquant que 5 — - tend

,, . . . hi^.rh vers 1 unile et par conséquent ~ — - vers zéro, on aura

,. /d — ry'^) lini -p= — - = I

comme pour a réel.

2" Supposons en second lieu a := « -f- fty' — i, ce qui est la forme la plus générale de ce que nous avons appelé expressions imaginaires ; et cherchons la limite de

/(i -t- en- /> /— ') I > 7 , 1 . • .

^ -== — - quand a et 0 tendent en iiuMnc temps

a -+- b y/ — I vers zéro, en ayant un rapport fini quelconque. Nous aurons d'abord

/(i-h a + 6/— 1) = -/[( i-T- n)-^- 6-]-H /— i arclang

Or arctane ne diffère de que d'un<: quantité

(Hvi'iruF. x\ii. 4iï

infinimenl pelilr |iar rajipori à on simjilcniciil à h:

el l{i -{- %<i -T- a- -— h'-) ne dillèrc di' in — a- — b- que d'un infiniment pclil p.ir rapport à celle dernière quanlilé ou simplement à a. el comme a- -1- />- esl infiniment petit

par rapport à (/,-/[ (i 4- </)-+ ^-] ne difTércra de - ■3.<i ou de a que d'une quanlilé d'ordre supérieui ; d'oîi il suil que /(i -4- rt 4- //y — 1 ) ne dilTére di- o — A\ — 1 que d'une quantité (o d'ordre supérieur à a et h. On a donc

Il T- b t/ — I ft-.-b <J — I

et la limite est i .

On peut donc dire que, cpiel que soit a, réel ou imagi-

na'.rc, on a

lini ^i <iii Iniid — ly