Celle extension étant élaldie. si l'on demande la

limite de (luand in tend vers zéro, ou

posera, comme il a été lait dans le cas des fpiaiililés réelles,

( I -t- 3" / — I )'" = I -w S, d'où

l'expression proiniséc deviendra — - et Ç tendra vers zéro. Si l'on substitue maintenant à m sa \aleur

/ii-+-g)

celle fraction deviendra -z- l[,\ -^ x J — i),donllali-

mile sera l[\~x\ — 1 , puisque jr- a iiour limite i

On parviendrait d(jnc ainsi au drveloppemeni rl<

4 ta ÉTUDE DES COLRBES.

/ 1 -H^ry/— i) par une suite de calculs identiques à ceux qui ont été employés pour /(i + x).

320. Il serait supcrllu de multiplier davantage les exemples sur le calcul des exponentielles et des logarithmes des quantités imaginaires.

Les contradictions que l'on pourra quelquefois rencontrer ne seront qu'apparentes, et tiendront à ce que Ton aura oublié qu'une quantité quelconque réelle ou imaginaire a une infinité de logarithmes. Il n'y aura donc pas lieu de s'étonner si deu\ calculs conduisent à des expressions difl'érentes pour le logarithme d'une même quantité ; il suffira, pour qu'il n'y ait pas contradiction, que ces expressions diflérentes soient comprises dans la formule générale des logarithmes d'une même quantité.

Ainsi le logarithme d'une puissance n'est pas nécessairement le produit du logarithme de la quantité parle degré de la puissance, vu qu'on peut prendre des valeurs inégales pour les logarithmes des facteui's égaux. Si, par exemple, on considère un nombre positif a et qu'on désigne par /(( son logarithme réel, le logarithme de o- ou de eut n'est pas nécessairement 2 la, parce que les logarithmes des deux facteurs sont la ± 2 « u y/ — i pour le premier, et la ± 2 II' -y — I pour le second, les nombres entiers // pouvant être différents. Le logarithme du produit a- est donc, d'après la règle démontrée (3H),

lia ± 2(n ~.-' n' )t: \/ — i,

et 2 la n'en est qu'une valeur particulière.

Voici maintenant une des difficultés qu'on a élevées sur l'emploi des logarithmes des quantités qui ne sont pas des nombresréels et jiositifs. On a dit que a- estle carré de — a aussi bien que de + a; son logarithme est donc aussi birn