CHAPITRE Wll

Supposons niainlenanl l'arc .'■ imaginaire Pt représenlipur a 4- S\' — 1 .

D'après notre définition générale des opératit)ns iimiiscendantes sur les imaginaires, on aura

/ ^/ -. (a-^êv/— i)- (a — g/— i)'

(•(is(a -+-6/ !,'= I r- TT—,

el ce dcveloppeinenl est la deini-somnic des deux sunanls, (orrespondanl respeclivenienl au\ doubles signes

( a -+• 6 v/ — i) v''— l ( ï — o y/ — I )- ( a — ê y/ — iV /

cl, par définition, ces développements représentent Texpo-

iienti<'lle

lin a donc

.,(.-uîi/rT1i/37 (,+5v/r7)i/r7

^ ^\'' aV ", > ' -u. (> v'-i-ov >/l '

cos(a---ov'— 1 )= ■

On trouverait de même

=in(a-- oy/ — ||=

ce qui montre que les formules (i) subsistent quand x est

imaginaire.

En eflfecluant les calculs, on trouvera

cosl^a -' TV

'■Il •

' sin(a " 6/— i)= s Si 7. = o, on aura

cos ( s ^ — i) =

in(6v/^) = -^J- =/-

ay/ — I

4l6 ÉTIDE DES COURBES.

353. Il est facile de reconnaître que les propriétés fondamentales des sinus et cosinus subsistent quand les arcs sont imaginaires; que, par exemple, le cosinus et 1<! sinus d'une somme ou d'une ddTérence s'expriment par les mêmes formules que quand les arcs sont réels.

En efi'et, d'après les valeurs que nous venons de trouver pour cos (êy' — i) et sin(êy — i), les formules (3) peuvcni s'écrire ainsi :

cos(a-i- ê v' — ') = cos a cos (êv'' — ') — sinasin(ê/ — i), sin (an- S/ — i) = sinotcos(5/ — i)-;- sin(6 / — i)cosa.

On reconnaîtrait de même que sin (a — ê^' — i) et cos^a — êy/ — i) se développent suivant la même loi (pic quand les arcs sont réels.

Il est inutile d'entrer dans plus de développements suice poini ; nous avons assez montré comment il faudra raisonner dans tontes les ([ucstions qu'on peut se proposer sur ce sujet.

32 i. Obseri'utio/i générale. — Lorsque l'on \oudra effectuer des transformations ou opérations qui ne seront pas identiquement les mêmes que celles que nous avons examinées jus(pi'ici, \\ faudra commencer par se rendre bien comple de ce que l'on demande; car les difficultés viennent souvent de la mauvaise position de la question et du vague des conditions. La question étant nettement définie et ne renfermant rien de contradictoire à tout ce qui a été antérieurement établi, il ne pourra se rencontrer que des difficultés d'exécution, mais jamais d'obscurité.