A LA SCIENCE DE L'ÉTE^DL■E

Si l'on s'esl proposé de déleiminer la valeur numérique des grandeurs, c'esl-à-dire s'il s'agit d'une réalisation jiratique, il sul'lit de substituer aux lettres, dans les formules trouvées, les nombres particuliers cpi'on obtiendra parla mesure des données; et l'on connaîtra les rapports des grandeurs cherchées à l'unité qu'on aura choisie.

Si, au contraire, on s'est proposé de déterminer la suite des constructions à faire pour obtenir les grandeurs inconnues dans toutes les questions de même espèce, il ne faudra pas réduire effectivement en nombres les quantités données, mais déduire de la. formule numérù/ue exprimée en lettres une formule géométrique, c'est-à-dire l'indication générale des constructions à faire avec les données pour obtenir les inconnues.

3. Au lieu de se proposer de déterminer certaines quantités, on peut avoir en vue la démonstration de propositions énoncées. Si ces propositions sont susceptibles d'être exprimées par des équations entre les grandeurs en question, on représentera ces grandeurs par des lettres, et l'on cherchera à déduire des conditions de la question des équations d'où il soit possible de tirer, par des combinaisons convenables, celles qu'on cherche à démontrer. Si l'on y parvient, la question est résolue; il n'v a ni réduction en nombres, ni constructions à effectuer : la représentation des grandeurs par des nombres n'était qu'une fiction, ayant pour objet de substituer le mécanisme du calcul à des déductions géométriques moins naturellement indi(|uées.

Réciproque. — Mais lorsque l'on a des équations entre les nombres qui représentent des grandeurs connues ou inconnues, au lieu de faire servirla résolution de ces équations à la détermination des grandeurs, on peut réciproquement faire servir la construction de ces grandeurs à la

4 APPLICATIOK DE LA SCIEKCE DES NOMBUES

détermination des solutions de ces équations. On voit donc qu'il est possible d'appliquer la Géométrie à la science des nombres, aussi bien que la science des nombres à la Géométrie. Nous nous attacherons d'abord à ce dernier point de vue: plus tard nous traiterons Fautre avec tout le soin que mérite son importance.

AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS DES SOLUTIONS GRAPHIQUES ET DES SOLUTIONS NUMÉRIQUES DES PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE.

4. Lorsqu'on a déterminé l'expression lillorale d'une quantité géométrique, nous venons de dire qu'on pouvait cherchera en déduire une formule de construction, ou la réduire en nombres, en remplaçant chacune des lettres par le nombre particulier qui exprimera la grandeur correspondante. Comparons les avantages que présentent ces deux procédés dans la pratique.

Observons pour cela que limperfeclion des instruments introduit toujours des inexactitudes dans les constructions. Si donc on lient à une grande approximation dans les résultats, on devra choisir le procédé qui demandera le moins de constructions.

Dans la résolution numérique on a toutes les erreurs provenant de l'expression des données en nombres ; mais le calcul n'en produit pas de nouvelles, ou, s'il en introduit, elles peu vent être assez diminuées pour qu'elles n'aient pas d'influence sensible sur les résultats, et l'on peut se dispenser d'y avoir égard. Il ne reste donc plus que l'erreur provenant du passage final de la \aleur numéricjuo à la grandeur concrète.

Dans la résolution purement graphique, on peut déjà avoir des erreurs provenant de ce que les données ont dû être reportées sur le plan où l'on doit effectuer les constructions; elles seront augmentées de toutes celles qui

V LA SCIE.\CE DE L ÉTE^DtE. 0

seront produites par la suite des construclions qui seront effectuées, et il est impossible de dire en général lequel des deux procédés est le plus exact : cela dépend de la nature des questions.

Dans celles qui dépendent de la coupe des pierres, de la charpente, de la perspective, les solutions graphiques sont généralement les seules dont on doive faire usage.

Dans celles qui ont pour objet les mesures terrestres ou astronomiques, l'exlrème précision doit être cherchée, et par conséquent il faut, le plus possible, réduire les constructions et avoir recours au caicnl.

Les mesures terrestres ont pour objet la délermiiuitiou des positions relatives de points situés à la surface de la Terre, et c'est à quoi l'on parvient en les liant par des droites qui forment un réseau de triangles rectilignes con. tigus. Les questions astronomiques conduisent plus ordinairement à la considération de triangles sphériques, formés par des arcs de grands cercles tracés sur une même sphère. D'où il suit que la théorie de la mesure des éléments des triangles, soit rectilignes, soit sphériques, ou la Trif^onométrie. doit jouer un grand rôle dans la résolution numérique des questions de Géométrie; et c'est une des premières dont nous nous occuperons.

APPLICATION