CHAPITRE PREMIER

DE LA MISE EN ÉQUATION DES PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE. HOMOGÉN"ÉITÉ. — CONSTRUCTION DES FORMULES.

1. I^dixiiie lOii \fniL a|)|)lif|ii(!r le calcul à la lésolution d'un problème de Géomélric avant poiirobjet la délerminalion de certaines grandeurs, on suppose toutes les quantités exprimées en nombres, au moven d'unités de même espèce que ces diverses quantités respectives-, on représente ces nombres par des lettres, pour que la solution soit générale, et le plus ordinairement on laisse arbitraire l'unité de cliaque espèce : ce n'est que dans des cas exceptionnels qu'on choisit à cet elTet l'une des grandeurs données.

On cherche ensuite à exprimer par des équations les diverses conditions géométriques de la question. Si l'on peut parvenir à en établir autant que l'on a d'inconnues, et que réciproquement ces équations entraînent comme conséquences les conditions de la question, celle-ci est ramenée à la résolution de ces équations. Si on peut l'effectuer et qu'on obtienne les formules qui expriment chacune

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des inconnues, il y aura deux manières d'en faire usage, comme nous l'avons déjà dit, suivant qu'on se sera proposé une solution numérique ou une construction. Dans le premier cas, on fera choix d'une unité avec laquelle on mesurera effectivement les grandeurs données qui entrent dans les formules, et l'on exécutera les opérations numériques qui V seront indiquées ; dans le second, on lâchera de trouver la formule des constructions à exécuter sur les grandeurs concrètes telles qu'elles sont données, pour obtenir les grandeurs concrètes demandées.

Quant à la marche à suivre en général pour trouver les équations du problème, nous ne saurions mieux faire que de rapporter à peu près textuellement les préceptes donnés par Descartes et reproduits par Newton :

« On doit d'abord considérer le problème comme résolu » et donner des noms à toutes les lignes qui semblent né- » cessaires pour le construire, aussi bien à celles\qui sont » inconnues qu'aux autres. Puis, sans considérenaucune » différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit » parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus » naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent » mutuellement les unes des autres, jusqu'à ce qu'on ait » trouvé moven d'exprimer une même quantité en deux » façons, ce qui se nomme une équation; car les termes » de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. » Et l'on doit conserver autant de telles équations qu'on a » supposé de lignes qui étaient inconnues. Ou bien, s'il » ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette » rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne » qu'elle n'est pas entièrement déterminée. El lors on » peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes » les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. » Après cela, s'il en reste plusieurs, il se faut servir par » ordre de chacune des équations qui restent aussi, etc. »