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de A dans le sens Ali, et peut renfermer un nombre quel-

j6 SCIENCE DE LÉTENDIE.

conque de circonférences en outre de la partie AM que présente la figure.

Supposons maintenant qu'à partir du point RI comme origine on porte dans le même sens sur la circonierence Tare b qui peut renfermer aussi un nombre quelconque de circonférences et se terminera par exemple en N : l'arc ainsi obtenu sera a + b. Si l'on joint NO et cpi'on abaisse NP perpendiculaire sur le diamètre MM' qui passe par l'origine ÎM de l'arc h, NP et OP seront sinft et cosb.

Cela posé, appliquons au triangle PON le théorème relatif à la projection des polygones fermés et prenons OApour la direction fixe par rapport à laquelle on considère les directions des côtés, dans le sens où ils sont parcourus. On doit se rappeler que les côtés du polvgone que l'on projette doivent être pris dans leur valeur absolue, et que chacun d'eux doit être multiplié par le cosinus de l'angle formé par la direction suivant laquelle il est parcouru, avec la direction lixe. Cet angle est toujours compris entre o et deux droits, et son cosinus doit être considéré comme positif quand l'angle est aigu, et négatif quand il est obtus. Considérant donc le périmètre du triangle comme parcouru dans le sens OPNO, et désignant en général par X\,ZU l'angle formé par la ligne dirigée de X vers \ avec celle qui est dirigée de Z vers U, on aura

OP cos OP, OA -4- PN cos PN , OA -\- NO cosNO, AO = o.

Or, si OP est dans le sens direct, il est le cosinus de l'arc o ayant M pour origine et terminé en N, c'est-à-dire cos 6; et l'angle OP,OA ou OM,OA est celui qui a été désigné par a, diminué peut-être d'un nombre entier de circonférences, ce qui ne change pas les lignes trigonométriques. Le premier terme de l'équation précédente est donc cos rt cos 6. Mais si OP est en sens inverse, l'angle formé par sa

chapithe £11. 77

direclion avec OA est égal à celui que nous venons de considérer, augmenlé de — ; et d'après la manière donl nous avons entendu les cosinus dans les généralisalions précédentes, le premier terme serait — OPcosor. Mais il sera exprimé par cosacosô si l'on entend encore que cos6, qui correspond à une direction inverse, est négatif implicitement.

Maintenant l'angle de PN avec OA est égal à celui de

OM avec OA, augmenté de - si PN est de sens direct: il a donc pour valeur « -r- - ; et cette valeur de\ra être augmentée ou diminuée de — si PN est de sens inverse. Dans le premier cas, le second terme de l'équation sera

PNcos(a-^-|; et dans le second, PN cos( « -:- - rz - 1 ou — PN cos ( a -i- - ) • Dans le premier, PN est siu 6, et le

terme est sin6cos(rt + - ); et comme dans le second le

sinus est dans le sens inverse, l'expression du terme serait la même si l'on regardait ce sinus comme négatifetégalà — PN. Donc, dans tous les cas, le second terme de l'équation aura

pour expression sin b cos ( a -;- ^ 1 ou — sin b cos ( - — n\ DU enfin — i,'in a <\n b . Quant au dernier terme, le facteur NO est l'unité, et l'angle iNU,OA a un cosinus égal et de sens

inverse à celui de l'angle ON,OA. Mais on est arrivé au point N en parlant de A, et portant dans le sens direct l'arc « «pii conduit en M, puis portant à partir de AI l'arc b, en continuant de marcher dans le même sens : le point N est donc l'extrémité de l'arc a -r- b; et en retranchant les circonférences qui peuvent être dans cet arc, ce qui ne change pas les lignes trigonométriques, on voit que cosON,OA est cos(n-f-6). Si donc on regarde encore deux angles suppléments comme ayant des cosinus égaux et de signes

yS SCIE>CE DE l'ÉTE>DIE.

contraires, le troisième terme de réquation sera exprimé par — cos(rt -^ il): et cette équation donnera

I 1) cos( « — b) = cosa cos6 — sina sinb.

Cette formule est Jonc démontrée générale quelles que soient les valeurs des arcs de sens direct, a, b, a -\- b, pourvu que l'on entende que les lignes trigonométriques qui y entrent seront considérées comme de purs nombres quand elles sont en sens direct, et comme des nombres affectés du signe • — quand elles sont en sens inverse : et à la condition que ces quantités négatives isolées seront traitées suivant les règles des signes démontrées pour les termes des polynômes.

o4. Formule du sinus de la somme de deux arcs de sens direct.

(jCtte formule peut être obtenue avec la même facilité que la précédente, en faisant les projections sur la direction OB au lieu de OA. Nous croyons inutile de répéter pour celte direction tout ce qui vient d'être fait pour l'autre; et nous allons montrer comment cette formule peut se tirer de la précédente, sans aucune nouvelle considération géométrique. On aura d'abord généralement, d'après ce qui a été précédemment établi,

sin(rt -H 6) = cos ( — — o — b\ = — cos ( — - a -■- b\,

puisque les arcs - — a — b et '^ -— a -{- b donnent pour somme t..

Considérant maintenant - -r « -i- b comme la somme des

deux arcs ~ -^ a cl b, on aura •}.

cos ( — i-a-T-i\ = cosi - -- a 1 cos b — sin ( -^ - a j sin 6.