EXTENSION DE CES QUATRE FORMULES AU CAS DES ARCS NÉGATIFS

56. ÎXous avons supposé que les arcs a, b, a — b étaient positifs; nous allons maintenant reconnaître que les formules (i), (2), (3), (4) subsistent quand ces arcs sont négatifs, en liant toujours le changement de signe au changement de sens, et traitant les quantités négatives isolées d'après les règles démontrées dans le cas des polynômes. / Supposons d'abord que, a et b étant encore positifs, a soit plus petit que b, et par suite que a — b soit négatif. On aura, d'après ce qui a été établi,

ros(rt — b ) = cos{b — a) et sin(a — ^)= — siii(è — a).

Or [b — a) étant positif, les formules (3), (4) donnent

cos(6 — a) = cosb cosa -^ sinb sincr, 5in(/j — <^) = sinôcosa — sinacosô.

On aura donc

cos(a — b) = cosa cosb — sina sia b, sin(a — b) = sin a cosb — sinb cosa,

c'est-à-dire que les formules (3), (4) subsistent quel que soit le signe de a — b.

57. Supposons maintenant les arcs a et b négatifs tous les deux, et posons « = — a', b ^= — b' : on aura, en entendant les choses de la même manière que dans tous les cas précédents,

cos(a H- é) = cos(a'-i- b') = cosa' cosb' — sin a sIn b' = cosa cosb — sina sinb

CH.VI'ITRE m.

sin(a — b )— — sin(a'-f- i') = — sina'cosft' — sini'cosa' = sina cos6 -r- s\nb cosa.

Les formule» (i) el (2) onl donc lieu lorsque les Jeux arcs sont négatifs.

38. Si l'un d'eux, seulement est négatif, par exemple b, posant b := — b', on aura

co5(a ~- b) = cos(a — b');

or, d'après la formule (4) démontrée générale, on a

cos(a — b' t — cosa cos6'-r- sina sinb' = cosacosft — sina sin^.

On aura donc encore

cosCa — 6) = cosa cos6 — sina sinb,

< e qui n'est autre chose que la formulera ); et la formule (i) sera aussi vérifiée dans ce même cas, car sin(rt -— b') sera sin(a — //) ou sinrtcos6' — sini'cosa, qui n'est autre chose que sina cos6 -r- sin6 cos«. On a donc

s\n(a-^ b) — sina cos6 -^ sinb cosir,

lorsque l'un des arcs est positif el l'autre négatif.

o9. On reconnaîtrait de même que les formules (3) et (4 ) ont lieu lorsque les arcs a et b ont des signes quelconques ; nous croyons inutile de reproduire des raisonnements identiques.

Et la conclusion générale de ces discussions est que, de même que les équations démontrées précédemment, les J<jrmules{i),{i), (3), (4) onl lieu pour des arcs de grandeurs et de signes quelconques, en considérant les arcs et les signes trigononie'trir/ues qui y entrent comme de DcD. — Méth. III. 6

82 SCIE.\CE DE l'ÉTEKDUE.

simples nombres ijuand elles sont dans le sens direct, et comme des nombres affectes du signe — (juand elles sont dans le sens inverse; à la condition que ces quantités négatives isolées seront traitées, dans toutes les opérations auxquelles elles sont soumises, d'après les règles démontrées pour les quantités non isolées. Et il faut bien se rappeler qu'il n'j a rien à démontrer quant à ces opérations, qui n'ont pas de sens par elles-mêmes; que celte manière d'opérer est la condition de la généralisation, et que la seule chose à démontrer était que c'était là le seul moyen d'obtenir cette généralisation, à laquelle on ourrail à la ricueur renoncer.

60. Remarque générale. — Toutes les formules déduites de constructions pouvant se modifier avec la disposition des points et la grandeur des lignes, il est nécessaire de les discuter avec soin dans tous les cas que la figure peut présenter, et d'établir rigoureusement les conditions pour qu'elles soient générales, si cela est possible. Mais toute formule déduite, par les procédés ordinaires du calcul, de formules démontrées générales à certaines conditions, le sera évidemment elle-même aux mêmes conditions. C'est pour cela qu'on évite autant que possible de démontrer par des considérations géométriques les nouvelles formules que l'on a intérêt à établir, et qu'on cherche à les déduire, quand cela se peut, de formules dont la généralité a été démontrée. On se laisse quelquefois séduire par l'élégance et la simplicité d'une démonstration géométrique, et on ne se donne pas la peine d'examiner tous les cas et de s'assurer que la formule est générale aux mêmes conditions que toutes les autres. On pèciie alors contre la rigurur, et on fait usage de propositions non démontrées. Et l'on reconnaît souvent qu'en rétablissant la rigueur, c'est-à-dire en démontrant réellement les propositions sur lesquelles on