En supposant b = a dans les formules ( i) et
on aura
sinaa = asina cosa et
COS20! = cos^n — sin-fl — i — 2 sin-« = 2 cos'-a — i.
/ Ces dernières sont souvent employées sous la forme suivante :
I— cos2rt = 2Cos'^f/, I — cos2a = 2sin-o.
Si maintenant on supposait b = 2a, et qu'on remplaçât sin 2 a et cosan par les valeurs qui viennent d'être trouvées, on obtiendrait
sin 3 a = 3 sin a cos- a — sin^ a, cos 3a = — 3 cosasin-a— cos' a,
ou, en faisant usage de l'équation générale sin-a-f- cos-a = i,
sin 3 a = 3 sin« — \ si n'a, cos 3 a = — 3 cosa — 4 cos' a.
On obtiendrait les sinus et cosinus des multiples suivants de a, en faisant successivement b = ia, 6 = 4«. Mais nous démontrerons bientôt des formules générales pour le développement de sin ma et cos ma, m désignant un nombre entier quelconque.
mÉrAiiATiox qu'il fai:t fairk slbir aux formules pour la RÉsoLurmx des triangles.
6)3. Les calculs n'étant substitués aux constructions
CHAPITUE MI. 85
que pour diminuer les erreurs, les nombres qui entrent dans les équations sont presque toujours exprimés par un grand nombre de chiffres décimaux, et les opérations seraient très pénibles au delà de l'addition et de la soustraction, si on ne les facilitait pas par l'emploi des logarithmes. Et cela est si nécessaire, que les Tables ordinaires ne renferment pas les valeurs mêmes des lignes trigonométriques, mais seulement leurs logarithmes, parce qu'on suppose toujours qu'on aura préparé les formules de telle sorte, que les inconnues soient exprimées chacune par un monôme indiquant des multiplications, divisions, élévations à des puissances entières ou fractionnaires de quantités dont on peut facilement connaître les logarithmes.
H y a diverses manières générales de réduire à un seul deux termes dont les facteurs ont des logarillinies connus.
Soient A et B ces deux termes, auxquels nous ne supposerons d'abord aucune forme particulière; 1 exjjressiou à réduire sera
A~B ou a(,^|).
Or, les relations entre les ligues trigonométricjucs permettent de transformer facilement i :— -r en un monôme. Considérons d'abord le signe supérieur, et posons B
ce qui est toujours possible; l'angle » se déterminera immédiatement, puisqu'on aura
lango=^-,
et par suite
log tango = i(,logB — logA).
86 SCIEKCE DE l'ÉTEKDUE.
Le second membre peut être formé, puisque l'on peut calculer les logarithmes de A et B au moyen de ceux de leur facteurs, et connaissant ainsi logtangcp, la Table donnera l'angle cp et les logarithmes de toutes ses lignes Irigonométriques.
Mais l'expression A+B sera transformée en A(i-l-tang-cp)
ou Aséc-'J, ou enfin en r- > dont on pourra facilement
' ' COS-'v '
calculer le logarithme, et par suite la valeur, si c'est une longueur, ou l'angle correspondant, si c'est une ligne trigonométrique.
On aurait encore pu poser x = coscp, et A + B serait
nevenu A(i + cos-j )^ aAcos- ^^
Si l'on avait eu le signe inférieur, la différence A — B, qu'on peut toujours supposer positive, deviendrait Asin^tp
en posant -r = cos-cp, ce qui est toujours possible, puisque j est plus petit que l'unité.
64. Un cas qui se présente souvent est celui où A et B renferment parmi leurs facteurs, l'un le sinus, l'autre le cosinus d'un^même arc a, c'est-à-dire où l'on a
A ± B = M sina ±i N cosa.
Eu mettant M en facteur commun, l'expression deviendra
M 1 sinrt ± — cosa )•
En posant -ç = tangtp,ce qui est toujours possible, clic se
change eu
sinad; ^ ) ou sin(a±(p),
costf / coso '
