CHAPITRE III

On voit donc que les angles et les côtés d'un triangle sphérique sont la mesure dos angles dièdres et des angles plans de l'angle trièdre formé par les trois lignes menées lia centre de la sphère aux. sommets du triangle. Et il n'v aura que des lignes Irigonométriques à considérer dans de pareils triangles, puisqu'ils ne se composent réellement que d'angles et non de longueurs.

Aussi les formules de la Trigonométrie n'auront lieu qu'entre les lignes trigonométriques des côtés et des angles des triangles; et résoudre un triangle, ce sera trouver le nombre de degrés contenus dans ces côtés et dans ces angles.

C'est l'Astronomie qui a donné naissance à ces recherches, parce qu'il était naturel de placer sur la surface d'une sphère avant pour centre l'œil de l'observateur des points présentant le même aspect que les astres mêmes. Ces points, qui sont les intersections des rayons visuels avec la sphère, joints trois à trois, déterminent des triangles sphériqucs, à la résolution desquels est ramenée la détermination des positions relatives des astres.

70. Toutes les formules de la Trigonométrie peuvent se déduire d'une seule dont il suffira de démontrer complètement la généralité : c'est celle qui a lieu entre les trois côtés et un angle quelconque. Désignant toujours par A, B, C les angles, et par a, b, c les côtés respectivement opposés, cette formule, appliquée aux trois angles, donne les équations suivantes :

«cosa = cosè cosc -t- sine sine cosA, ,., . cosè = cosa cosc -»- sina sine cosB,

\ cose = cosa cos6 -r- sina sin 6 cosC.

On les démontre d'abord dans le cas où l'angle est plus petit que deux droits, el les côtés qui le comprennent, plus

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petits chacun qu'une demi-circonférence. On reconnaît facilement ensuite que les mêmes formules subsistent lorsque les côtés sont plus grands qu'une demi-circonférence, et l'angle compris plus grand que deux droits, extension dont on peut même se passer pour la résolution des triangles spliériques. Ces démonstrations sont si faciles, et nous avons déjà donné tant d'exemples des procédés de généralisation, que nous croyons devoir en laisser le soin aux professeurs ou aux élèves mêmes. Nous ne parlerons pas non plus des autres formules utiles que l'on peut déduire des précédentes, ou démontrer directement; mais nous allons montrer comment les niovens déjà indiqués peuvent servir à rendre le calcul des logarithmes applicable aux équations (i).

71 . Prenons d'abord le cas où l'on donne les trois côtés a, h, c, et où Ton demande les trois angles. On tirera de la première équation

, rosa — cos6 cosc

nos A = , — ; — . .

smt» smc

Ou en tirera