CHAPITRE ni. qD
quons que la valeur des eûtes donnés indlcjuc si l'angle A que Ion calcule est plus petit ou plus grand que deu\ droits,
ft par conséquent quel sign<^ il faut prendre pour cos — ;
mais, comme nous l'avons déjà dit, on jieul se borner à considérer des angles moindres que deux droits.
7:2. Les équations (i) peuvent encore servir à calculer le troisième côté d'un triangle dont on connaît les deux autres et l'angle qu'ils comprennent.
Supposons, en effet, qu'on donne a, 6, C; on aura
cosc = cosn cosi — siiia sine cosC.
Cette équation ne peut donner coinmodémenl cosc, parce qu'on ne peut calculer le logaritlimc du second mend^re, qui est composé de deux termes. Pour le transformer en un monôme, il suffira d'observer que ses deux termes renferment, l'un le sinus et l'autre le cosinus d'un même arcr/ ou b. Appliquant le procédé général que nous avons iniliqué dans ce cas, nous écrirons
cosc = cos6(cosn -^ tangft cosG sina),
et nous poserons tango cosC = tangœ, ce qui détermine immédiatement l'angle 'j et les logarithmes de ses lignes Irigononiétriques. On aura alors
cos Zi cos ( rt — 9 )
cosc = — >
coso
et la question sera résolue.
API'LICATIOX DES LIGNES TRIf.ONOMÉTUIQl ES A QLELQIES QLESTIOXS PARTICILIÊRES.
73. Les lignes trigonométriques, avant pour objet d'introduire les angles en même temps que les longueurs dans les calculs, peuvent cire employées non seulement pour calculer avec approximation les éléments inconnus d'un Irian-
g6 SCIENCE DE l'étehdi'e.
gle, mais pour trouver les inconnues dans toute question où il entre des lignes et des angles. Et la solution étant trouvée, on peut aussi bien se proposer de la construire que de la calculer, comme dans les problèmes que l'on résoudrait sans V introduire des angles, mais seulement des longueurs. Nous nous bornerons à en donner quelques exemples très simples.
74. Par im point D donné sur un côté d'un triangle ABC {fig- i4)i niener deux lignes qui rencontrent en
M et N les deux autres côtés, de telle sorte que le triangle DMN 50jf semblable à un triangle donné.
Soient AD ^ d, w l'angle donné MDN, — le rapport
donné des côtés DN, DM et x l'angle inconnu ADN. Nous allons d'abord exprimer DN en fonction de x, puis
DM, et nous égalerons leur rapport à — ; cette équation déterminera x.
Le triangle ADN donnera — ,- = -. — r-i ^; puisque
A + .r est supplément de DNA. L'angle BDM est égal à
- — w — X, etBMD, par suite, à w — B-^ x. On aura donc
DM sinB
c — d sin((o — B + a-)
, , . m , DN
«t, égalant a — le rapport j^r^, on aura 1 équation
/irfsin A sin(to — B ->- a-) = m(c — a)sinB sin(A -f- a;).
CHAl'lTRE III. yy
Développant les sinus, on aura dans lous les ternies sina; ou cosx, et, divisant par cosx, on trouvera pour tangj; la valeur sui\aii!e :
m(c — c?)sinA sinB — nd sinïi sin((o — B)
" nd s\n\ cos(w — B) — /n{c — <^)sinB cosA
et il n'y aurait aucune difficulté à construire celle expression, puisque les sinus et cosinus d'angles connus peuvent être remplacés par des ra[)porls de lignes cotimies.
7î). Etant donnés les longueurs des trois arêtes d'un parallélépipède et les angles qu'elles forment entre elles en un de ses sommets, calculer la diagonale parlant de ce point, et le volume du parallélépipède.
Soit le parallélépipède ABCDEFGII (fg- i5); |k)soiis
AB
i" Clierchons d'abord l'expression de d, et pour cela projetons le polygone ABCGA sur la direction A(j, nous aurons
acosBAG -T- b cosDAG -r- c cosEAG = d.
r, B \G - ^--^''■ — ^'' "■- f/' — ^i^ . ■lad ïad '
et de même
iHii. - Mcili. m.
go SCIENCE DE L ETENDUE.
Substituant, il vient
„2 f/-2 BG"
-^ d'- — AE
-^r/2 AC
2rf-
■zd
âf' - âh'
d'où
d"- = 'Xc
F'aisant les substitutions, on obtient
d- — a- ^ b- -i- c- -^ lab cosab -+- acre cosorc -T-i.be cosbc.
La diagonale du parallélépipède se trouverait ainsi exprimée au moyen des trois arêtes et des diagonales des trois faces partant d'une extrémité de la première; mais, ces diagonales n'étant pas des données de la question proposée, il faut les cxjirinier an moyen des angles ab, ac, hc des arêtes partant du même sommet. Or on a
AC
lab cosab.
AF = «- -^ c- — aac coscrc, AH = è- -i- c- -^ ibc coi bc.
Faisant les substitutions, on obtient
f/2 — a- -T- b- ^ c- -^ ■xab cosab -r- ïac cos«f -;- 26c cos6c.
2" Cherchons maintenant le volume du parallélépipède, et pour cela abaissons El perpendiculaire sur le plan de la base ab dont la surface est ab sinab; le volume cherché aura pour mesure Kl.ab sinab ou «ècsinaô sinEAI.
Nous sommes donc ramenés à calculer le sinus de l'angle qu'une arête d'un angle trièdre forme avec le plan de la face opposée. Désignons respectivement par a, 6, y les angles bc, ac, ab.
L'angle trièdre AEIB correspond h un triangle sjthérique rectangle qui donnera
-^:;^- = sinEAIÎ ou siii EAI = sin AB sine, siii AH
ciiAi'iTr.E 111. gg
AB cl('signant l'angle dièdre suivant rareté AB. Mais, AB étant nn angle d'un triangle sphérirjue dont les côtés sont a, 6, -', on aura
sine sin-f et par conséquent
' /-: — « — : fi ■
-\'sin-o sin-Y — (cosa — coso cos-f )-
sinb sin-f
: — v'(sin6 sinv-H cosz — coso cosY)(sin6 sinv-^ cosê cosv — cosa)
sinësinY
■ \ [cosa — cos(o -T- Y lJ[cos(o — -/ j — cosa]
Multipliant cette \alcur par sine, on aura sinEAI; et multipliant ensuite par abc sinab ou siu-', on aura, j)our l'expression du volume du parallélépipède,
, ./. a-f-ê-+-Y . ê-r-Y — a . a-^Y — S • a-^ê — y aaoct / sin sin sin sin '-■
Cette expression se réduit à abc rpiand les angles a, 6, y sont droits, parce que les quatre sinus sous le radical deviennent égaux à -r=- /a
7(). Expression g-én/'m/e de la distance de deux points.
Nous avons donné cette lorniule dans le cas où les points sont nipporlt's à deux axes rectangulaires ; nous allons d'abord l'étendre au cas où les axes sont obliques.
Si par les deux points M, M' {fig. i6) on mène des parallèles aux axes, leur distance est un côté d'un triangle
100 SCIENCE DE l'éTEKDVE.
M'MI, dont les ileux autres sont les difrérences ou les sommes des coordonnées des deux points ; et l'angle opposé
Kir. i6.
est égal à l'angle 0 des axes ou à son supj)lénient. Le carré du côté MM' a pour valeur
mï' = Âîl" r= m1' — 2 >II . M' I cos M' I M.
Reste à exprimer généralement, si cela est possible, les (rois termes du second membre.
Nous ne reproduirons pas la discussion que nous avons faite dans le cas des axes rectangulaires, et qui montre que la somme des carrés des deux côtés MI, M'I est représentée dans tous les cas par (x — je')- -r {v — ,>'')') en entendant que les .r et jk sont regardés comme de simples nombres quand les coordonnées qu'elles représentent sont situées d'un côté déterminé de l'origine, et comme des nombres négatifs quand elles sont en sens contraire. Il ne reste donc à considérer que le troisième terme.
Supposons d'abord que les directions MI, IM soient celles des axes positifs, c'est-à-dire que .r — x' et >• — j' soient positifs, en entendant comme nous l'avons fait les signes de x. y, .r', r'; l'angle I sera supplément de 6, et le troisième terme, — aMI.M'I cosi, aura pour expression
-H 2 (a: — 3^){y — >'')cosO.
Si maintenant un seul des deux côtés MI, M'I change de sens, l'angle I se change en môme tcnqis dans son supplémenl, de sorte que dans ce produit deux des facteurs doi-
CH^l'lTHE m. ICI
vent être représentes par les mêmes expressions changées de signes : il n'v a donc aucun inconvénient à les laisser telles qu'elles étaient, en entendant toujours de la même manière les opérations sur les quantités négatives.
Si le second côté change ensuite de sens, les mêmes considérations prouvent que la première forme peut encore être conservée.
On peut donc dire que l'expression général* du carré de la distance de deux points rajiportés à des axes quelconques dans un plan est
( J — x' I- — I >■ — y )-^- 2 ( X — ûr' \ iv — y ) cos 0,
les quantités X,)', x', ^t', cos 0 pouvant être positives ou négatives sous les mêmes conditions que dans toutes les questions dont nous avons jusqu'ici généralisé les solutions.
77. Si les points étaient rapportés à trois axes obliques et déterminés par trois coordonnées x, v, z, x' , y' , z' , la droite mcnée^de l'un à l'autre serait la diagonale d'un parallélépipède dont les arêtes seraient parallèles aux axes, en sens direct ou inverse. Les grandeurs de ces arêtes seraient respectivement égales aux dilTérences ou aux sommes des coordonnées des deux points. En formant d'abord l'expression de cette diagonale dans le cas où les coordonnées X, y, z sont plus grandes que chacune des trois autres x', y , d , et passant, comme nous venons de le faire, au cas où l'inverse a lieu, on trouvera que la première expression s'a|)plique à toutes les positions possibles des deux points, en entendant toujours de la même manière les signes des coordonnées et des cosinus. Cette valeur générale de la distance D est donnée par la formule suivante, dans laquelle les angles sont ceux que forment entre elles les directions
I02 SCIENCE DE l'ÉTEKDUE.
des axes positifs :
-T- 2(x — 3"')(/ — y)cosûry + 2(x — x'){z — ;j' )C0SX2
DE LA COSSTRLCTIOX DES TABLES TRIGOXOMÉTRIQl'ES.
78. Les premières Tables sont dues aux astronomes de l'antiquité; elles ont été calculées par des procédés longs et pénibles; mais, comme elles étaient indispensables pour la résolution des triangles, il a fallu les construire à tout prix. Les progrès de la science ont fait connaître des moyens plus prompts et plus sûrs, dont on s'est servi soit pour vérifier des Tables déjà faites, soit pour en former de plus exactes. Nous nous bornerons à indiquer ici les moyens les plus élémentaires qu'on peut employer à cet effet. Nous pourrons parler plus tard de procédés plus parfaits. L'emploi d'une Table présente d'autant plus d'exactitude que ses termes croissent par intervalles plus petits : nous supposerons, comme cela a lieu dans celles qui sont le plus en usage, que les arcs croissent par intervalles de lo secondes sexagésimales. La pi-emière idée qui se présente est de calculer avec une très grande approximation le sinus et le cosinus de lo secondes et d'en déduire, par les formules connues dti sinus et du cosinus d'une somme, ceux de tous les arcs suivants qui peuvent chacun être considérés comme la somme du précédent et de lo secondes.
Pour calculer sinio", on remarquera que, quand un arc tend vers zéro, son rapport à son sinus tend vers l'unité, et par conséquent la différence de l'un à l'autre est relativement très petite. On reconnaît niùme très simplement qu'en prenant toujours le ravon pour unité, la dillércncc du sinus à l'arc est moindre que le quart du cube de cet arc. Il est tlonc très facile d avoir une iinille de Terreur
