CHAPITRE III. loi

commise en prenant pour valeur de sinio' ocelle de l'arc même de lo secondes, qu'on peu ti'acilement calculer puisque la demi-circoniVrence - est connue avec une approximation dont on peut à peine se faire une idée, et dont nous aurons bientôt l'occasion de parler.

On trouvera ainsi par défaut, à moins d'une unité du tlcrnier ordre,

lo' = 0,00004848136811095359935,

il — , — est égal par excès, à moins d'une unité du dernier

ordre, à

o, 000 000 000 o jo oî,

el comme on a

sin 10 > 10 ,

retranchant de 10 secondes la quantité précédente, sup'-

rieureà > on aura un reste a forliori plus petit que

sin 10". On aura donc

sin 10" >o, 00004848 i3G8o8, et d'ailleurs

sin 10' < 0,000048481 3C8ii,

de sorte que l'on a par défaut, à moins d'une unité du treizième ordre décimal,

sin 10' = 0,0000484813680.

On déduira facilement de là la valeur de cosio" par excès et par défaut, et on en conclura sin 20" et cosao".

Pour aller au delà, on fera usage de la loi simple qui existe entre les sinus et les cosinus d'arcs en progression par différence. Pour la découvrir, soient

I04 SCIEINCE DE L ÉTEUDUE.

trois arcs quelconques consécutil's d'une prof^ressiou don! la différence est a.

On aura

sin (x -.- a) -\- sin {x. — a) = 2 sina? cosce. cos {X -- a)-- cos(a7 - a) = cosarcoscr, iroù

sin(a:-f-a!) = sin^(2 cos a) — sin(af — a), cos (a" '- a) = cos a- (a cos n) — cos (a: — a).

Ainsi, dans la série des sinus, comme dans celle des cosinus, d'arcs en progression dont la différence est «, un terme quelconque se forme des deux précédents, en multipliant le dernier par 2 cosrt, l'avanl-dernier par — i , et réunissant les deux, produits. Or, le facteur acosrt se représentant toujours, si on le multiplie par les neuf chiffres significatifs, on n'aura à opérer que des additions de ces produits partiels et les soustractions de quantités connues, ce qui réduira le calcul autant que possible.

79. Gomme il est toujours possiljle de déterminer, pour les nombres que l'on calculera ainsi, des valeurs trop petites et des valeurs trop grandes, on connaîtra pour chacun une limite de l'erreur, ce qui est indispensable dans tous les calculs d'a^pproximation. Si l'on trouvait que cette limite est devenue trop forte, il faudrait partir d'un arc plus petit que 10 secondes, car les erreurs se trouveraient relativement plus petites.

Mais on peut faire quelque chose de plus précis encore, car une limite de l'erreur ne donne pas toujours une connaissance assez précise de l'erreur même. On peut calculer avec autant d'approximation qu'on voudra les sinus et cosinus d'un assez grand nombre d'arcs, et comparer ces valeurs à celles qui résultent des calculs que nous avons indiqués.

Ainsi, le côté du décagone étant égal à la plus grande partie du r.ixoii on de l'nnili', partagée en moyenne et

CllM'ITRE m. 103

extrême raison, et «'tanl le double du vinglièmo de la cir-

(■nnr»'T'iir(>, on aura

sin 18° = î — ,

On en tirera faeilenienl le cosinus, puis le sinus et le cosinus de la moitié ou de ç) degrés; et, par les formules du sinus et du cosinus de la somme, on aura ceux de tous les arcs de 9 en c) degrés: c'est-à-dire des arcs de 9, 18, 27, 36, 43 degrés. Ce dernier est d'ailleurs calculable directement, et les calcuis^'arrêtent nécessairement là, puisque les sinus et cosinus des arcs plus grands que 4^ degrés sont les cosinus et sinus d'arcs moindres que 45 degrés.

Il n'est même pas nécessaire de continuer les calculs jusqu'à la moitié de l'angle droit : car Euler a fait voir que les lignes trigonométriques des arcs au delà de 3o degrés ou d'un tiers d"angle droit se déduisent de celles des arcs moindres. La construction des Tables se trouve par là beaucoup simplifiée; mais elle l'est encore bien davantage au moven des S(''ries que nous indiquerons, et qui donnent non seulement les lignes Irigonomélricpies, mais leurs logarithmes eux-mêmes, qui sont bien plus nécessaires encore pour les calculs de la pratique.

A l'I'LI CATION

APPLICATION

L'ÉTUDE DES COLRBES.