CHAPITRE PREMIER

REPRÉSENTATION DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES PAR DES ÉQUA- TIONS. — EXEMPLES DE SOLUTIONS ÉTRANGÈRES ET DE SOLUTIONS PERDUES. — NOU\EAU\ L\EMPLi:s DE GÉNÉRALISATION PAR LES QU.4NT1TÉS NÉG.VTIVES.

80. JVous avons vu que les problèmes de Géomélrie se ramenaient généralenienl à la détermination de certaines grandeurs, ou de la position de certains points; et comme la position d'un point sur un plan se détermine elle-même par certaines grandeurs que nous avons nommées ses cooidonnéfs, il en est résulté que la résolution des problèmes de Géométrie par le calcul se réduit à la recherche d'équations entre les grandeurs données et des grandeurs inconnues, qui seront les coordonnées de points à déterminer, ou d'autres grandeurs quelconques, suivant la nature de la question.

Lorsqu'un point cherché ne peut avoir qu'une position ou du moins un nombre limité de positions, il existera deux relations distinctes entre ces deux coordonnées; et

IlO ÉTUDE DES COI RBES.

celles-ci seront donn[''es par les solutions communes à ces deux équations.

Mais lorsque le point clierclié peut avoir une infinité de positions se suivant d'une manière continue, il est évident qu'il ne peut exister deux équations distinctes entre ses coordonnées, mais qu'il faut pouvoir prendre arbitrairement l'une des deux, entre certaines limites peut-être, et que l'autre doit en résulter; ce qui exige qu'il Y ait une relation entre les deux' coordonnées de chaque point. De sorte que la détermination d'un lieu géométrique par le calcul consistera dans la recherche de l'équation entre les coordonnées de chacun de ses points, résultant de conditions géométriques qui lui .sont imposées.

81. On peut dire à la rigueur que la représentation des courbes par une équation générale entre les coordonnées de chacun de leurs points a été connue de tout temps. Ainsi, dire que la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque d'un cercle sur un de ses diamètres est moyenne proportionnelle entre les deux segments, c'est donner une équation entre les coordonnées de tout point du cercle qui seront la perpendiculaire et l'un des segments du diamètre. Les propriétés les plus simples des autres sections coniques et d'autres courbes encore fournissaient des équations entre les coordonnées de diverses espèces d'un point quelconque de ces courbes. Mais les procédés de la science des nombres et les transformations dites algébriques étaient si peu avancés chez les anciens, que ces propriétés des courbes, équivalentes au fond à des équations, n'avaient pu donner lieu à de sérieuses applications de la science des nombres à la théorie des courbes.

C'est à Descartes que l'on doit réellement le premier pas dans cette direction, et il a été d'une importance capitale.

CHAl'ITRE l'nK.MlKR . III

L'orii^inc de celle conceplion se nionlrc assez clairemenl dans qiielffues mois de son Discours sur la méthode : « Je » n"eus pas dessein, dil-il, de tâcher d'apprendre loules ces » sciences particulières qu'on nomme coniniunénienl ma- » thématiques ; cl voyant qu'encore que leurs objets soient » dilTérenls, elles ne laissent pas de s'accorder loules en ce » qu'elles ne considèrent autre chose que les divers rap- » ports ou proportions qui s'v trouvent, je pensai qu'il » valait mieux que j'examinasse seulement ces propor- » lions en général, et sans les supposer que dans les su- » jets qui serviraient à m'en rendre la connaissance plus » aisée, même aussi sans les v astreindre aucuncmenl, afin » de les pouvoir d'autant mieux appliquer à tous les )i autres auxquels elles conviendraient; puis, ayant pris » garde que pour les connaître j'aurais quel(|ucfois besoin » de les considérer chacune en particulier et quelquefois » seulement de les retenir ou de les comprendre plusieurs » ensemble, je pensai que pour les considérer mieux en » particulier, je les devais supposer en des lignes, à cause n que je ne trouvais rien de plus simple, ni que je pusse » plus dislinclement représenter à mon imagination el à » mes sens; mais que pour les retenir ou les comprendre » plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par ). quelques chiffres, les plus courts qu'il me serait possible, )) et que par ce moyen j'emprunterais tout le meilleur de » l'Analyse géométrique el de l'Algèbre, el corrigerais tous » les défauts de l'une par l'autre. » On voit clairement par là que Descartes s'est proposé d'employer toutes les ressources de la science des nombres à l'élude de la Géométrie, el réciproquement; mais que celle application ne serait pas restreinte à la Géométrie seulement, el qu'elle s'étendrait à toutes les autres sciences où l'on aurait à considérer des rapports ou proportions, indépendants de la nature particulière des choses dont elles s'occu|)ent. Il enten-

112 ÉTUDE UES COLRBES.

diiit donc, par exemple, que les formules de la science des nombres pouvaient être mises au service de la Mécanique, de rAstronomie et de diverses branches de la Physique. Cette conception a changé la face de toutes ces sciences, et c'est à elle en jurande partie qu'elles doivent les immenses progrès qu'elles ont faits depuis Descartes. Nous ne l'envisagerons ici qu'au point de vue de l'application mutuelle de la science des nombres et de la Géométrie pure.

Après avoir donné la règle que nous avons fait connaître précédemment pour mettre en équation les problèmes de Géométrie, déterminés ou indéterminés, c'est-à-dire dans lesquels le nombre des équations est égal ou inférieur à celui des inconnues, Descartes entreprend la solution d'un problème de Géométrie, ébauché par les anciens, et dans lequel il s'agit de déterminer la position d'un point par la condition que le produit de ses distances à certaines droites données soit dans un rapport constant avec le produit de ces distances à d'autres droites données en même nombre. Il y a une inflnité de points satisfaisant à cette même condition, et les géomètres anciens avaient reconnu dans quelques cas particuliers que le lieu était une section conique. Descartes mit en équation la question générale. Il détermina la position d'un point quelconque par ses distances x el y à deux axes fixes, exprima au moyen de ces deux quantités chacune des lignes en question, et la condition donnée lui fournit immédiatement une équation entre x, y et des quantités connues.

Cette équation était également facile à établir, quel que fût le nombre des lignes multipliées ; mais il n'en était pas de même de la discussion et de la construction. La longueur de chaque ligne était représentée par une expression du premier degré en x tly, et le degré des deux produits était par conséquent égal au nombre des facteurs. Les cas examinés par Euclide et Apollonius se ra])portaient à des